Otevřít hlavní menu
Tento článek je o matematice. Další významy jsou uvedeny na stránce Matice (rozcestník).
Matice o m řádcích a n sloupcích

Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu .

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k výpočtu soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.

Obsah

Označení prvků maticeEditovat

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A se obvykle značí  . Potom  -tý řádek matice obsahuje vodorovnou  -tici prvků  , kde   a  -tý sloupec matice obsahuje svislou  -tici čísel  , kde  .

Např. a53 leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako a53, nebo první nahoře a druhý dole jako a53, což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory. Tedy matici m krát n zapíšeme jako:

 

Pro zjednodušení se také používá zápisu

 .

Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis

 .

Pokud nehrozí chyba (např. indexy jsou jednociferné), lze vynechat čárku oddělující oba indexy, tj.  .

PříkladEditovat

Matice

 

je obdélníková matice velikosti 4x3. Prvek matice a23 nebo a23 je 7.

PoužitíEditovat

Matice jako zápis lineárního zobrazeníEditovat

Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů V do prostoru W, pokud máme na prostoru V zvolenou bázi   a na prostoru W bázi  . Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru   zapsaného v bázi  .

Matice přechoduEditovat

Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud   a   jsou dvě báze, pro které platí  , neboli

 

pak matice   se nazývá matice přechodu od báze   k bázi  . Pro souřadnice pak platí

 

kde   jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi   a   jsou jeho souřadnice v bázi   a   je inverzní matice k matici  .

Duální báze k   a   (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.

Matice jako zápis bilineární formyEditovat

Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin)   (obvykle   nebo  ), pokud máme na prostoru V zvolenou bázi   a na prostoru W bázi  . Matice zobrazení A vytvoříme tak, že  , kde (.) je příslušná bilineární forma. Pak v souřadnicích platí  .

Systémy lineárních rovnicEditovat

Související informace naleznete také v článku Soustava lineárních rovnic.

Systém m rovnic o n neznámých   se dá zapsat elegantně do matice jako

 

Řešení se nezmění, pokud budeme provádět následující úpravy:

  • Výměna dvou řádků
  • Vynásobení řádku nenulovým číslem
  • Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Takovými operacemi je možno systém značně zjednodušit (viz Gaussova eliminace).

Zkoumání lineární nezávislosti vektorůEditovat

Pokud mám nějakou sadu vektorů zapsanou v souřadnicích, můžu tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat jako řádky pod sebe a vznikne matice. Lineární obal řádků matice se nezmění, pokud budu dělat následující úpravy:

  • Výměna dvou řádků
  • Vynásobení řádku nenulovým číslem
  • Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Pokud vhodnými úpravami dokážu udělat někde nulový řádek, původní vektory jsou lineárně závislé (viz též Gaussova eliminace).

Řešení obyčejných diferenciálních rovnicEditovat

Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá přepsat na maticovou rovnici  , kde   je vektor neznámých a A je matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice dané maticovou funkcí  .

Další použitíEditovat

V matematice a fyzice:

Ve statistice:

V kvantové mechanice:

V populační biologii:

Operace s maticemiEditovat

Operace s maticemi se v některých bodech odlišují od operací s čísly.

  • O dvou maticích   prohlásíme, že jsou si rovny, pokud mají stejný počet řádků i sloupců a každý prvek   matice   je roven odpovídajícímu prvku   matice  . Rovnost matic   zapíšeme
 
  • Vynásobíme-li matici   komplexním číslem  , získáme novou matici  , jejíž prvky jsou   násobky prvků matice  , tzn.
 

Výsledná matice   je tedy stejného typu jako původní matice  .

  • Mějme dvě matice   typu  . Jako součet těchto matic označíme matici   typu  
 

Prvky matice   jsou určeny vztahem

 

Součet matic má smysl pouze pro matice stejného typu.

  • Rozdíl dvou matic   (stejného typu  ) je nová matice   typu  
 

Prvky matice   jsou určeny vztahem

 

Rozdíl matic   a   lze také chápat jako součet matice A a matice B vynásobené číslem -1. Rozdíl má tedy opět smysl pouze pro matice stejného typu.

  • Obecně lze pro matice  , které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic
 ,

kde prvky matice   určuje výraz

 
  • Máme-li matici A typu m×s a matici B typu s×n, pak jejich součinem je matice C typu m×n, který značíme
 ,

přičemž prvky matice C jsou určeny jako

 

nebo

 .

Násobení matic je také označováno jako maticové násobení.

  • Opakovaným násobením matice   sama sebou lze vytvářet mocniny matic  . Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu
 

Vlastnosti a základní pojmyEditovat

Algebraické vlastnosti prostorů maticEditovat

Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej   (obvykle   nebo  ). Množina všech čtvercových matic   tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se  ,  , nebo   apod. Pro   je nekomutativní a její centrum je izomorfní   (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, t.j. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze  -dimenzionálního prostoru   nám dává izomorfizmus  . Jediná ireducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na  .

Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného komutativního okruhu, a analogické tvrzení lze zformulovat i v kvaternionových maticích).

Množina všech regulárních (t.j. invertovatelných) matic tvoří grupu, která se označuje  . Pro   je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem  .

Hodnost maticeEditovat

Související informace naleznete také v článku Hodnost matice.

Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků.

Diagonála maticeEditovat

Prvky  , leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky  , kde  .

Prvky  , leží na tzv. vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tedy tvořena všemi prvky  , kde  .

Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

Důvod dvojího značeníEditovat

Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Předpokládejme, že matice   přiřadí vektoru v, který má souřadnice (v nějaké bázi)   vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice   (symbolicky Av=w).

Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako vektory, kdežto řádky matice jako duální vektory, neboli lineární formy. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.

Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru   zapsán v nějakých bázích   prostorů  . Protože ale  , můžeme chápat matici jako tenzor typu (1,1) a u tenzorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat „správně“.

Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí číslo. Pak to odpovídá tenzoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tenzor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili ( ) (oba indexy dolů).

Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.

Druhy maticEditovat

Přehled některých typů matic
Nad   Nad   vlastnost
hermitovská symetrická  
unitární ortogonální  
regulární (invertibilní)  
  • Matice typu   je tvořena jedním řádkem a bývá označována jako řádková matice.
  • Matice typu   je tvořena jedním sloupcem a bývá označována jako sloupcová matice.
  • Je-li  , pak matici označujeme jako čtvercovou matici  -tého řádu (stupně). Pro   bývá matice označována jako obdélníková.
  • Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn.   pro všechna  , označujeme matici jako nulovou.
  • Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn.   pro   a   pro  , nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice   lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu
 ,

kde   jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky   diagonální matice platí  , jedná se o jednotkovou matici  , pro jejíž prvky platí

 
  • Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar
 

Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

  • Jsou-li   i   konečná čísla, označujeme matici jako konečnou.
  • Matici, která vznikne z matice   vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme  . Pro jednotlivé prvky transponované matice platí
 
  • Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn.  , pak matici   označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí
 .
  • Matici   označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah
 .
  • Pokud každý prvek   matice   nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým  , pak získáme matici  , kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici.
  • Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn.  , pak matici   nazýváme reálnou maticí.
  • Provedeme-li na matici   transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermiteovsky sdruženou (někdy též psáno „hermitovsky“, podle Charlese Hermita). Hermiteovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů
 

(poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. Moore-Penroseovou pseudoinverzí matice)

  • Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn.  , říkáme, že matice   je hermitovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná). Každá takováto matice má všechna vlastní čísla reálná. (důkaz indukcí s využitím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace)
  • Matice   je inverzní maticí k matici  , pokud platí
 ,

kde   je jednotková matice.

  • Matici  , ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární.
  • Matici   označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice   je rovna matici hermiteovsky sdružené  , tzn.
 

OdkazyEditovat