Otevřít hlavní menu
Tento článek pojednává o aplikaci komplexní funkce na matici. Výraz „maticová funkce“ se někdy používá pro libovolné zobrazení z nějaké množiny do množiny matic.

Maticová funkce je matematické zobrazení, která zobrazuje matice na matice. Některé komplexní funkce , nejčastěji se setkáme s funkcemi

je možné rozšířit přirozeným způsobem na maticové funkce. Tento proces se také nazývá funkční kalkulus.

Obsah

DefiniceEditovat

Nechť   je funkce komplexní proměnné  , a nechť   je čtvercová matice. Pokud je funkce   definovaná a analytická na otevřené množině obsahující spektrum matice matice  , lze funkci zobecnit na  . Zobecnění lze provést několika různými avšak navzájem ekvivalentními[1] způsoby:

Definice pomocí Jordanova rozkladuEditovat

Uvažujme analytickou funkci

 

kde suma na pravé straně je Taylorova řada funkce   v bodě 0 (která je konvergentní). Pak lze funkci zobecnit na čtvercové matice jednoduše jako

 

Je-li matice   diagonalizovatelná, existuje regulární matice   tak, že

 

pak

 

Protože

 

pro   platí

 

a tedy

 

Velká závorka uprostřed je diagonální matice, obsahující na diagonále shora uvedené Taylorovy řady se  , tj. právě hodnoty  . Dostáváme tak vztah definující maticovou funkci diagonalizovatelné matice

 

Pokud matice není diagonalizovatelná, můžeme použít Jordanův rozklad a situace je jen nepatrně složitější. Existuje regulární matice   tak, že

 

kde matice

 

je blokově diagonální, s Jordanovými bloky na diagonále (zřejmě  ). Analogicky jako v předchozím případě dostaneme vztah definující maticovou funkci

 

kde

 

Definice pomocí Cauchyho integráluEditovat

Nechť je opět   je analytická na otevřené množině   obsahující spektrum matice  . Nechť dále   je uzavřená křivka v   oddělující od komplexní roviny nějakou část oblasti analyticity obsahující všechna vlastní čísla. Pak

 ,

a

 

Definice pomocí polynomiální interpolaceEditovat

Definici pomocí Hermiteova interpolačního polynomu nalezneme například v knize.[1]

VýpočetEditovat

Jordanův rozklad je užitečný nástroj pro porozumění pojmu funkce matice. Definice však, jak to obvykle bývá, není vhodný návod pro praktický výpočet. Nicméně pro velmi malé, školní příklady, lze maticovou funkci spočítat přímo z definice, nejsnáze právě pomocí Jordanova rozkladu. Numericky stabilní výpočet maticových funkcí velkých matic je předmětem intenzivního základního vývoje v oblasti maticových výpočtů.

Výpočet maticové funkce je navíc silně závislý na funkci   a na vlastnostech matice  .

  • Při výpočtu odmocniny z pozitivně definitní matice   se používají algoritmy založené na Newtonově metodě.
  • Při výpočtu znaménkové funkce   matice, která nemá žádné ryze imaginární vlastní číslo se počítá pomocí algoritmu sign iteration.

V praxi, v mnoha případech není potřeba znát přímo matici  , ale stačí znát její akci na konkrétní vektor, tj.  , nebo dokonce  . Často tedy stačí určit vektor délky  , nebo dokonce jen jeden skalár (viz příklad řešení ljapunovské rovnice, případ kdy  ). To je klíčové zejména u rozsáhlých úloh. Matice   může být hustá i když původní matice   je řídká. Pokus o přímé vyčíslení funkce tak může vést na hustou matici, přičemž požadavky na uložení všech   prvků matice (reálných čísel) mohou významně přesahovat paměťové prostředky dostupné na daném počítači. Pro výpočet   nebo   bez vyčíslování matice   se používají speciální postupy a algoritmy.

Příklady aplikacíEditovat

Největším zdrojem aplikací jsou maticové výpočty samy o sobě. Mimo to se s maticovými funkcemi často setkáváme v teorii řízení.

Řešení obyčejných diferenciálních rovnicEditovat

Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá přepsat na maticovou rovnici

 

je vektor neznámých. Řešení je vektorový prostor generovaný sloupci matice

 

Řešení ljapunovské rovniceEditovat

Při rozhodování zda je dynamický systém řiditelný nebo pozorovatelný řešíme tzv. ljapunovské rovnice

 

kde matice   je stabilní (tedy  ). Řešení lze formálně zapsat ve tvaru

 

kde se užívá maticová exponenciála.

Podobné problémy vyvstávají při úlohách redukce modelu.

Stabilizace maticeEditovat

V předchozí aplikaci byla zmíněna stabilní matice. Pokud matice dynamikého systému není stabilní, což se často stává, je třeba systém stabilizovat, tj. eliminovat vliv vlastních čísel s kladnou reálnou složkou ve zpětnovazební smyčce. To lze formálně realizovat znaménkovou funkcí. Nechť matice   nemá žádné ryze imaginární vlastní číslo. Uvažujme dále, pro jednoduchost, že matice je normální, tj.  . Protože znaménková funkce je v celé komplexní rovině, kromě imaginární osy, analytická, platí

 

Tedy matice

 

jsou ortogonální projektory na podprostory generované vlastními vektory matice   odpovídajícími vlastním číslům se zápornou, resp. kladnou reálnou složkou.

Je-li   nenormální, pak   jsou šikmé projektory. Protože znaménková funkce má v celé komplexní rovině, kromě imaginární osy, nulové derivace, defektní matice (tj. s netriviálními Jordanovými bloky) nepřináší oproti diagonalizovatelným nenormálním maticím, alespoň v teorii, žádné komplikace navíc, jako tomu je u obecné funkce  .


Příklad výpočtuEditovat

Nechť  , a nechť

 

je zadaná matice a její Jordanův rozklad. Exponenciála této matice je

 

Nechť  , a nechť

 

je zadaná matice a její Jordanův rozklad. Sinus této matice je

 

ReferenceEditovat

  1. a b Nicholas J. Higham, Function of Matrices. Theory and Computation, SIAM Publications, Philadelphia, PA, 2008

LiteraturaEditovat

  • J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6. (Kapitola 2.4, Funkce matic, str. 47-49.)
  • G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computations, Third Edition. The Johns Hopkins University Press, Baltimore a Londýn 1992. ISBN 0-8018-5414-8. (Kapitola 11, Functions of Matrices, str. 555-578.)

Související článkyEditovat