Otevřít hlavní menu

Zobrazení je v matematice předpis, jak přiřazovat prvkům nějaké množiny (vzorům) jednoznačně prvky obecně jiné množiny (obrazy). Jedná se o speciální případ binární relace, u které je zajištěna jednoznačnost obrazu ke každému vzoru.

Zobrazení je pojmem nejen teorie množin, ale představuje ústřední pojem i pro matematickou analýzufunkce je totiž také druhem zobrazení.

Obsah

Zobrazení z množiny do množinyEditovat

Nejobecnějším z hlediska množin, do kterých náleží vzory a obrazy, je zobrazení z množiny do množiny.

Definice[1]

Zobrazení   z množiny   do množiny   je taková binární relace, pro kterou platí, že ke každému prvku   množiny   přiřazuje nejvýše jeden takový prvek   množiny   tak, že  .

Značení[1]

  nebo  

Důležité pojmy[1]
  • Prvek   se nazývá obrazem prvku   v zobrazení   nebo také hodnotou zobrazení   v bodě  . Podobně obraz množiny   v zobrazení   je množina  , na kterou se zobrazí  :  
  • Prvek   se nazývá vzorem prvku   v zobrazení  . Podobně vzor množiny   v zobrazení   je množina   obsahující všechny prvky, které se do množiny   zobrazí; značí se  
  • Množina právě těch prvků  , pro které existuje právě jeden takový prvek  , že  , se nazývá definičním oborem zobrazení   (též zkráceně oborem zobrazení či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek  .
  • Množina právě těch prvků  , pro které existuje aspoň jeden takový prvek  , že  , se nazývá oborem hodnot zobrazení   (též úplným obrazem zobrazení). Je to tedy množina všech obrazů, respektive obraz celého definičního oboru. Značí se zpravidla jednou ze značek  .

V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace   splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

 .

Typy zobrazeníEditovat

Podle pokrytí výchozí a cílové množinyEditovat

Zobrazení v množině[1]

Zobrazení v množině   je takové zobrazení   z množiny   do množiny  , pro které  , tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení množiny do množiny[1][2]
 
 . Žlutý ovál uvnitř   je obor hodnot.

Zobrazení množiny   do množiny   je takové zobrazení   z množiny   do množiny  , pro které  . Definičním oborem je tedy celá výchozí množina. Tedy ke každému prvku   existuje (právě jeden) takový prvek  , že  .

Značí se:  

Zobrazení z množiny na množinu[1]

Zobrazení z množiny   na množinu   neboli surjektivní zobrazení (surjekce) je takové zobrazení   z množiny   do množiny  , pro které  . Zobrazuje tedy definiční obor na celou cílovou množinu. Tedy ke každému prvku   existuje aspoň jeden takový prvek  , že  .

Zobrazení množiny na množinu[1][2]

Zobrazení množiny   na množinu   je takové zobrazení   z množiny   do množiny  , pro které  . Tedy ke každému prvku   existuje právě jeden takový prvek  , že  , a ke každému prvku   existuje aspoň jeden takový prvek  , že  .

Zobrazení na množině[1]

Zobrazení na množině   je takové zobrazení   množiny   na množinu  , pro které  , tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení prosté, vzájemně jednoznačné a inverzníEditovat

Prosté zobrazení[1][2]

Zobrazení f z množiny   do množiny   se nazývá prosté neboli injektivní zobrazení (injekce), právě když každé dva různé vzory   mají různé obrazy  :

 
Vzájemně jednoznačné zobrazení[1]

Vzájemně jednoznačné zobrazení množin   a   neboli bijektivní zobrazení (bijekce) je prostým zobrazením množiny   na množinu  , je tedy injektivní a surjektivní zároveň.

Značí se:  

Inverzní zobrazení[1][2]

Je-li   prosté zobrazení z množiny   do množiny  , pak zobrazení   z množiny   do množiny  , které každému   přiřazuje ten prvek  , pro nějž  , se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení  . Jeho definičním oborem je tedy   a platí  .

Podle druhu vzorů a obrazůEditovat

Například:

  • Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
  • Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
  • Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
  • Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
  • Operátor - funkci přiřazuje funkci.
  • Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Další speciální typyEditovat

Například:

  • Totožnost (identita) - každému prvku přiřadí tentýž prvek.
  • Spojité zobrazení - k blízkým vzorům přiřazuje blízké obrazy.
  • Lineární zobrazení - platí pro něj  , kde   a   jsou prvky daného tělesa a   a   jsou prvky vektorového prostoru nad tímto tělesem.
  • Konformní zobrazení - spojité zobrazení, které zachovává úhly.

Příklad zobrazeníEditovat

 
Příklady (popis v článku)

Mějme množiny   a  . Můžeme například definovat zobrazení   jako

  •  
  •  
  •  
  •  

Oborem hodnot   je tedy množina  . Vzorem množiny   je množina  . Jeden prvek v   tedy může mít více než jeden vzor v  . Ale každý prvek   se zobrazí na právě jeden prvek v  .

Na obrázku jsou uvedeny příklady vztahů  .

  • Na a) je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
  • Na b) je příklad prostého zobrazení množiny   do množiny  .
  • Na c) je vzájemně jednoznačné zobrazení   na  .
  • Na d) je zobrazení, které není prosté.

Víceznačné zobrazeníEditovat

Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymoron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení

 

lze převést na běžné jednoznačné zobrazení do potenční množiny B

 [zdroj?]

Víceznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí od zobrazení, které není prosté. Například

 

ReferenceEditovat

  1. a b c d e f g h i j k BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Překlad TICHÝ, Zdeněk. 1. české (podle 17. originálního). vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1983. 832 s. 04-020-83. Kapitola 0.4.6 Zobrazení, operace, funkce, s. 83-86. 
  2. a b c d REKTORYS, Karel, a kol. Přehled užité matematiky. 4.. vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1981. 1140 s. 04-003-81. Kapitola 1.23 Pojem množiny a pojem zobrazení, s. 73. 

Související článkyEditovat