Jordanova normální forma

(přesměrováno z Jordanův rozklad)

Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky[1]), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.

Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici existuje Jordanův tvar , který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice , že . Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice .

Podoba Jordanova tvaruEditovat

Matice  v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:

 

kde  , tzv. Jordanův blok vlastního čísla   dimenze  , je horní troúhelníková matice ve tvaru:

 

Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.

Pozn.: Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.

Příklad 1Editovat

Následující matice je v Jordanově tvaru:

 

Skládá ze tří Jordanových bloků   velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Příklad 2Editovat

Jakákoliv n×n diagonální matice   je v Jordanově tvaru: má n bloků   o rozměru 1×1.

Souvislost s vlastními číslyEditovat

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:

  • Vlastní číslo matice je takové  , které pro nějaký vektor   splňuje  . Tato podmínka se dá snadno přepsat jako  .
  • Máme-li matici   a její vlastní číslo  , hodnota   se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla  .
  • Polynom  se nazývá charakteristický polynom matice   a jeho kořeny jsou vlastními čísly  . Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost   jako kořene tohoto polynomu.

Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok   má vlastní číslo   s algebraickou násobností   a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem   s algebraickou násobností   a geometrickou násobností   bude tedy mít pro toto vlastní číslo   Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude  .

Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice  , jejíž Jordanův kanonický tvar  

  • obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
  • Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
  • Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
  • A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům   odpovídají různá vlastní čísla  ).

VlastnostiEditovat

Každá matice   je podobná matici s J jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce maticeEditovat

Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici

 

Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu

 

Dostáváme

 

Nalezli jsme tedy vlastní číslo   s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení   homogenní soustavy  . Zřejmě

 

a jedním z hledaných řešení je například vektor  . Všimněme si, že matice   má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice   nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici  . Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor  , druhým sloupcem   bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

 

Snadno se přesvědčíme, že  . Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

 

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice  . Obsahuje jediný Jordanovův blok velikosti 2.

ReferenceEditovat

  1. BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 115-118.