Diagonální matice

V lineární algebře je diagonální matice čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. Diagonální matice jsou určeny výhradně prvky na hlavní diagonále a tyto prvky mohou být i nulové.

Diagonální matice řádu 4. Nenulové prvky mohou být pouze na zvýrazněné hlavní diagonále matice.

U diagonálních matic se součin a inverze počítá snadněji než u obecných matic. Je-li lineární zobrazení reprezentováno na vektorovém prostoru konečné dimenze pomocí diagonální matice, pak vlastní čísla zobrazení jsou prvky na diagonále.

V geometrii lze diagonální matici použít jako matici škálování, protože příslušný součin vede ke změně měřítka ve směru jednotlivých os. Součin s tzv. skalární maticí vede k rovnoměrné změně měřítka.

Definice editovat

Čtvercová matice   řádu   nad tělesem   (obvykle jde o těleso reálných čísel  )

  ,

jejíž prvky   s   jsou všechny rovny nule, se nazývá diagonální matice. Často se zapisuje jako:

  .

Někdy se uvedený termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku není toto zobecnění uvažováno.

Ukázky editovat

Příkladem reálné diagonální matice řádu 3 je matice:

 

Speciální diagonální matice editovat

  • Jednotková matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 1. Formálně:  .
  • Čtvercová nulová matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 0. Formálně:  .
  • Pokud se všechna čísla na hlavní diagonále diagonální matice shodují, označují se také jako skalární matice.[1] Skalární matice jsou skalární násobky jednotkové matice  . Množina nenulových skalárních matic je centrem obecné lineární grupy  .

Vlastnosti editovat

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

  • Příslušné diagonální matice tvoří komutativní podokruh okruhu čtvercových matic řádu  .
  • Hodnost diagonální matice je rovna počtu nenulových prvků na diagonále.
  • Determinant diagonální matice je součin prvků na hlavní diagonále:
     
  • Adjungovaná matice k diagonální matice je opět diagonální.
  • Diagonální matice jsou symetrické, a proto se nemění transpozicí:  .
  • Komplexní diagonální matice jsou normální. Pokud mají reálné prvky, jsou dokonce samoadjungované.

Aritmetické operace editovat

Součet, skalární násobek a součin editovat

Součet, skalární násobek a součin diagonálních matic jsou jednoduché operace:

Součet dvou diagonálních matic je diagonální a platí:

 

Podobně pro skalární násobek diagonální matice a pro součin dvou diagonálních matic:

 
 

Součin matice   typu   zleva s diagonální maticí řádu   odpovídá vynásobení řádků   příslušnými prvky na diagonále:

 

Součin matice   typu   zprava s diagonální maticí řádu   zprava odpovídá násobení sloupců   prvky na diagonále:

 

Regularita a inverzní matice editovat

Diagonální matice je regulární právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Inverzní matice je pak dána předpisem:

 

Pro pseudoinverzi jakékoli diagonální matice platí následující:

 

kde   pro  , a v ostatních případech  . Při známém singulárním rozkladu lze pseudoinverzní   velmi efektivně vypočítat ze vztahu:  .

Vlastní čísla a vlastní vektory editovat

Vlastní čísla diagonální matice   jsou  , přičemž příslušné vlastní vektory   tvoří standardní bázi prostoru  .

Uvedený fakt vyplývá z výše uvedeného pravidla pro součin s diagonální maticí zleva, protože rovnice   pro určení vlastních čísel a vektorů se bezprostředně redukuje na vztah  .

Aplikace editovat

Podrobnější informace naleznete v článku Diagonalizovatelná matice.

Diagonální matice se vyskytují v mnoha oblastech lineární algebry. Vzhledem k výše uvedenému jednoduchému popisu maticových operací a vlastních čísel a vlastních vektorů je obvykle vhodné nalézt reprezentaci např. lineárního zobrazení pomocí diagonální matice.

Čtvercová matice   řádu   se nazývá diagonalizovatelná, je-li podobná diagonální matici  , čili pokud existuje regulární matice   taková, že platí:   (ekvivalentně:  ). Lze dokázat, že matice řádu   je diagonalizovatelná, právě když má   lineárně nezávislých vlastních vektorů.

V tělese reálných nebo komplexních čísel lze navíc dokázat, že každá normální matice je unitárně podobná diagonální matici (pokud  , pak existuje unitární matice   taková, že   je diagonální). Dále, ze singulárního rozkladu navíc vyplývá, že pro libovolnou matici   existují unitární matice   a   takové, že   je nezáporná diagonální matice.

Odkazy editovat

Reference editovat

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Diagonalmatrix na německé Wikipedii a Diagonal matrix na anglické Wikipedii.

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Literatura editovat

  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články editovat