Otevřít hlavní menu
Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem
Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem

Determinant je zobrazení v lineární algebře, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.

Determinantem čtvercové matice řádu nazýváme součet všech součinů prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme znaménkem permutace.

ZnačeníEditovat

Determinant matice   s prvky   zapisujeme jako

 

nebo pomocí prvků jako

 ,

popř. ve zkrácené formě

 .

Geometrický význam determinantuEditovat

Matice řádu 2Editovat

Matice 2×2

 

má determinant

 .

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), a1=(a,c), a2=(b,d) a (a + b, c + d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů a1 a a2. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory a1 a a2 měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.

Matice řádu 3Editovat

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice   řádu 3. Řádkové vektory

 

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů b1,b2,b3 pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

Matice vyšších řádůEditovat

I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti b1,b2,…,bn.

Všeobecná definice a výpočetEditovat

Nechť   je čtvercová matice.

Matice řádu 1Editovat

Pokud A je matice 1×1, je

 

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

Matice řádu 2Editovat

Pokud A je matice 2×2, je

 

Matice řádu 3Editovat

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:

 

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Matice vyšších řádůEditovat

Pro obecnou matici  ×  determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

 

Suma se počítá přes všechny permutace   čísel {1, 2, …, n} a   značí znaménko permutace  : +1, pokud   je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje   (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem   rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu   jako

 

Postupy výpočtuEditovat

Gaussova eliminaceEditovat

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro   je  ), neboť pro tu platí

 ,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:

  • Pokud B vznikne z A výměnou dvou řádku nebo sloupců, potom  
  • Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom  
  • Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci, potom  

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

Kofaktorová metodaEditovat

Pomocí kofaktorové metody můžeme rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Například podle řádku i

 

kde   jsou kofaktory, tedy   je   krát determinant matice, která vznikne z   odstraněním  -tého řádku a  -tého sloupce. Takováto matice se nazývá submatice a determinant k ní příslušný subdeterminant. Ze vzorce je zřejmé, že je nejvhodnější využívat k rozvinutí řádek nebo sloupec, který obsahuje hodně nul. Tato metoda se též označuje jako Laplaceův rozvoj (podle sloupce nebo řádku).

VlastnostiEditovat

  • Pokud lze prvky i-tého řádku psát jako  , pak platí
 
  • Speciální případ předchozí vlastnosti nastane tehdy, máme-li matici  , jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice   řádu   číslem  , tzn.  . Pak platí
 
  • Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí
 
  • Determinant je antisymetrický vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné.
  • Z předchozích vlastností plyne, že pokud má matice   dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce, tak musí platit  .
  • Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový.
  • Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
  • Determinant matice A, kterou získáme z matice B tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice B přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice B, je roven determinantu matice B, tzn.  . Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění.
  • Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je rozměr matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice jejíž determinant je nenulový se nazývá regulární.
  • Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce. Determinant matice   je tedy roven determinantu transponované matice  , tzn.
 .
  • Součinem determinantů   a   je determinant  , pro který platí
 ,

kde prvky matice   jsou dány jedním z následujících vztahů

 , tzn. násobí se řádky matice A s řádky matice B,
 , tzn. násobí se sloupce matice A s řádky matice B,
 , tzn. násobí se řádky matice A se sloupci matice B,
 , tzn. násobí se sloupce matice A se sloupci matice B.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat