Otevřít hlavní menu

Kvadratická forma je zúžením (restrikcí) bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy. Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem, vyskytují se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších. Jsou také všude ve fyzice a chemii, jako energie systému, zvláště pak co se týče matematických norem, které vedou k využití v Hilbertových prostorech.

Obsah

DefiniceEditovat

Nechť   je bilineární forma na vektorovém prostoru   nad tělesem  . Pak funkce

 
 

se nazývá kvadratická forma na  .

Základní vlastnostiEditovat

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

 

pro všechna   a  .

Nejběžnější kvadratická forma je

 

Kvadratickou formu  můžeme ve složkách rozepsat jako

 

kde  jsou složky symetrické matice typu  .

Druhy kvadratických foremEditovat

Kvadratická forma   na euklidovském prostoru   se nazývá

  1. pozitivně definitní, jestliže   platí  
  2. pozitivně semidefinitní, jestliže   platí  
  3. negativně definitní, jestliže   platí  
  4. negativně semidefinitní, jestliže   platí  
  5. indefinitní, jestliže   taková, že   a  .

LiteraturaEditovat

  • HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139. (česky) 
  • BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197. (česky) 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337. (česky) 

Související článkyEditovat