Lineární funkcionál

Lineární funkcionál nebo lineární forma je v matematice lineární zobrazení z množiny vektorů daného vektorového prostoru do množiny jeho skalárů. Jedná se tedy o funkcionál, který je zároveň lineární.

Definice

Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$. Zobrazení $f:V\to T$ sa nazývá lineární funkcionál, pokud jde o zobrazení do tělesa, které je zároveň lineární, tj.:

1. $\forall x\in V\!:f(x)\in T,$
2. $\forall x,y\in V\!:f(x+y)=f(x)+f(y),$
3. $\forall x\in V\ \forall \alpha \in T\!:f(\alpha \cdot x)=\alpha f(x).$

Podmínky 2., 3. můžeme ekvivalentně přepsat do podmínky

$\forall x,y\in V\ \forall \alpha ,\beta \in T\!:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Uvedenou definici můžeme přeformulovat tak, že $f$ je lineární zobrazení z $V$ do $T$.

1. $\forall x\in V\!:f(x)\in T,$
2. $\forall x,y\in V\ \forall \alpha ,\beta \in T\!:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Příklad

Lineární funkcionály v Rⁿ

Uvažujme o euklidovském prostoru $\mathbb {R} ^{n}$. Předpokládejme, že vektory prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ jsou reprezentované jako sloupcové vektory typu

$x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.$

Potom každý lineární funkcionál možno zapsat ve tvaru

$f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}.$

Předchádzející výraz je možno ekvivalentně zapsat jako maticový součin

$f(x)=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\cdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.$

Lineární funkcionály na $\mathbb {R} ^{n}$ mohou být tudíž reprezentovány jako $n$-rozměrné řádkové vektory $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$.

Externí odkazy

• Definice lineárního funkcionálu na Wolfram MathWorld
• stránky Lubomíry Dvořákové týkající se lineární algebry

Autoritní data	NKC: ph115152