Otevřít hlavní menu

Eukleidovský prostor je matematický výraz pro člověku nejbližší, intuitivní představu prostoru. V tomto pojetí prostoru, formalizovaném Eukleidovými axiomy, začíná školní vzdělávací proces; týká se především geometrie, ale také fyziky a algebry. Pojmu se užívá zejména v kontrastu k jiným prostorům.

Obsah

Dimenze prostoruEditovat

Původní představa eukleidovského prostoru je dvojrozměrná (rovina, ve které rýsujeme své geometrické obrazce) či trojrozměrná. Postupným zobecněním si ale dokážeme představit i prostory vyšších dimenzí, ve kterých platí stejné Eukleidovy axiomy.

Metrika prostoruEditovat

Eukleidovský prostor je metrickým prostorem, tj. lze v něm zavést veličinu, kterou nazýváme metrika čili vzdálenost (každé dva body v prostoru mají mezi sebou určitou vzdálenost). Například kružnici pak definujeme jako množinu bodů, ležících v rovině, které mají od jednoho bodu (středu) stejnou vzdálenost. V eukleidovském prostoru platí tzv. eukleidovská metrika, která umožňuje, že např. kružnice se pak zobrazuje tak, jak jsme zvyklí (při jiné metrice by mohla mít kružnice např. tvar čtverce aj.).

Základní vlastnostiEditovat

Z Eukleidových axiomů vyplývají některé základní vlastnosti, které považujeme za samozřejmé:

  • rovnoběžky se v žádném bodě neprotínají (respektive někdy říkáme, že „se protínají v nekonečnu“);
  • součet úhlů v trojúhelníku je 180°.

GeometrieEditovat

Prostor, ve kterém jsme zvyklí od starověku podnes řešit geometrické úlohy, je eukleidovský prostor. Řešíme v něm úlohy planimetrie, stereometrie, analytické geometrie, perspektivy a další.

FyzikaEditovat

Prostor, ve kterém pracuje klasická fyzika, je eukleidovský.

ArchitekturaEditovat

Projektování staveb probíhá v eukleidovském prostoru.

Lineární algebraEditovat

V lineární algebře se obvykle definuje jako konečněrozměrný unitární prostor nad množinou reálných čísel.

VlastnostiEditovat

Eukleidovský prostor dimenze n se obvykle značí  .

Eukleidovský prostor je unitární prostor, a proto je na něm definován skalární součin.

Zavedeme-li v n-rozměrném eukleidovském prostoru kartézskou soustavu souřadnic, pak vzdálenost d mezi dvěma body X a Y o souřadnicích   je určena vztahem

 

Eukleidovský prostor   bývá také označován jako kartézský prostor  , kde   označuje množinu reálných čísel. Kartézský prostor je tedy kartézským součinem n množin  .

Rozšířením eukleidovského prostoru   lze získat n-rozměrný komplexní prostor  . Prostor   bývá označován také jako  , kde   je množina komplexních čísel.

Neeukleidovský prostorEditovat

Prostory, ve kterých naopak není splněno všech pět eukleidovských axiomů, se zabývá neeukleidovská geometrie.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat