Otevřít hlavní menu

Kartézský součin

Ilustrace kartézského součinu množin a

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin a je množina, označená , která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny a druhá položka je prvkem množiny . Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Například kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.

Kartézský součin je pojmenován po francouzském matematikovi René Descartovi, z jehož formulaci analytické geometrie je tento koncept odvozen.

Formální definiceEditovat

 

Například kartézským součinem množiny všech reálných čísel   se sebou samou vznikne rovina  , což je možno psát jako   („kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí  , viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

 

Příkladem takového součinu je trojrozměrný euklidovský prostor  .

VlastnostiEditovat

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množinmohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin. Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina ( ), pak je   nebo  .

Nekonečný součinEditovat

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

 

Zde   je množina indexů,   je množina operandů (množin), indexovaná prvky  .

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z   do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde   odpovídá takové funkci  , u které  

Význam kartézského součinuEditovat

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině   jsou určité podmnožiny  , operace na množině jsou určité podmnožiny  .

Související článkyEditovat