Binární relace

Binární relace je pojem z matematiky, vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé.

Příklad: Mějme množiny čísel , . Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z k prvkům z . Vidíme, že číslo (z množiny ) „je větší“ než číslo z . A říkáme, že prvek je v binární relaci „je větší“ s prvkem , zkráceně „je větší“ . Většinou prvky, které jsou v binární relaci, značíme jen jako uspořádanou dvojici . Binární relaci z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic . Na množinu lze nahlížet jako na podmnožinu kartézského součinu . Množiny lze použít jako definici binární relace.

DefiniceEditovat

Binární relace je uspořádána trojice      , kde   a   jsou libovolné množiny a   je podmnožina kartézského součinu  . Množině   se říká definiční obor, množině   obor hodnot a množinu   nazýváme graf relace.

Binární relace značíme uspořádanou dvojicí    , nebo pokud chceme rozlišit, o kterou relaci se jedná, pak      , kde   a   je označení příslušné množiny z definice.

Druhy relacíEditovat

Binární relace je:

  • symetrická, pokud platí      , pak platí      .
Příkladem může být relace   „je sourozenec“. Je-li   i   množinou všech mých příbuzných, pak musí existovat (já   sestra) a také (sestra   já). Pokud sourozence nemám, je množina relací prázdná, i taková relace je symetrická.
  • antisymetrická pokud       a současně      , pak platí  .
  • tranzitivní, pokud       a současně      , pak platí      .
Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr a současně Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.
  • reflexivní, pokud pro každé   platí      . (Prvek   je v relaci sám se sebou.)
Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní relace je "je vyšší". Neplatí, já "je vyšší" (než) já.

Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.

Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.

Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.

Operace s relacemiEditovat

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace, jejichž výsledkem je opět relace:

  • Inverzní relace k relaci   mezi množinami   a   je relace  
  • Relace složená z relací   a   je relace  
  • Průnik relací   a   je relace  
  • Sjednocení relací   a   je relace  

LiteraturaEditovat

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Externí odkazyEditovat