Otevřít hlavní menu

Obor hodnot

množina hodnot, kterých funkce skutečně nabývá
Funkce zobrazuje množinu do množiny . Žlutý ovál uvnitř je obraz množiny při zobrazení . V tomto případě není pokryta celá množina a některé body z nelze získat jako obraz bodu z množiny při zobrazení .

Mějme nějakou funkci, nebo obecněji libovolné zobrazení z množiny do množiny . Pak množina těch prvků z , pro něž existuje prvek z takový, že , nazýváme oborem hodnot zobrazení . Méně formálně je obor hodnot zobrazení množina všech hodnot, kterých zobrazení nabývá. Obor hodnot zobrazení značíme , , , , popř. . Posledně jmenovaný symbol je zkratkou z anglického názvu pro obor hodnot (range[pozn. 1]) a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci pak lze obor hodnot zapsat jako

Jinak řečeno, uvažujme definiční obor nějakého zobrazení . Pak obraz tohoto definičního oboru při zobrazení je obor hodnot zobrazení . Neboli

Pro obor hodnot zobrazení zjevně platí

.

PříkladEditovat

  • Funkce sinus   nabývá pouze hodnot mezi -1 a 1, a proto je její obor hodnot   interval  .
  • Oborem hodnot absolutní hodnoty čísla jsou všechna nezáporná reálná čísla.
  • Oborem hodnot nemusí být jen čísla, lze sestrojit zobrazení, které vezme číslo a vrátí zobrazení. Uvažme například zobrazení  , které vezme číslo   a vrátí zobrazení  . Neboli
 

kde   označuje množinu spojitých funkcí definovaných na  . Hodnotou zobrazení   je tedy opět nějaké zobrazení  , které zobrazuje reálná čísla na kladná reálná čísla, tj.  .

NázvoslovíEditovat

Mějme zobrazení  . V závislosti na tom, zda zobrazení   při svém působení na množinu   vyčerpá všechny prvky množiny  , nebo ne, se zavádí následující názvosloví:

  • Pokud pro každý prvek   množiny   existuje prvek   z množiny   takový, že  , tak nazýváme zobrazení   surjektivní zobrazení, neboli říkáme, že zobrazení   zobrazuje množinu   na množinu  .
  • Pokud naopak existuje prvek   z množiny  , pro něž nenajdeme jeho vzor v množině  , tak říkáme, že zobrazení   zobrazuje množinu   do množiny  . Tomuto případu odpovídá situace na obrázku. Tam je žlutou barvou vyznačen obor hodnot zobrazení (funkce)  , zatímco modrou barvou jsou vyznačeny ty prvky množiny  , pro něž neexistuje odpovídající  , pro které by platilo  . Uvedeného pojmu zobrazovat do množiny se užívá i případě, kdy se nestaráme o to, zda   skutečně nepokryje celou množinu   a připouštíme tak obě možnosti, tj. i tu, kdy je zobrazení   surjektivní.

Speciální druhy oboru hodnotEditovat

Ve funkcionální analýze se zavádí pojem esenciálního oboru hodnot. Buď   množina vybavená mírou   a nechť   je nějaká komplexní funkce definovaná na  , tj.  . Pak pod pojmem esenciální obor hodnot funkce   rozumíme množinu

 

PoznámkyEditovat

  1. V angličtině se pro množinu   obvykle užívá pojmu codomain, v češtině tato množina nemá žádný zvláštní název. Obor hodnot zobrazení se pak anglicky nazývá range, ačkoli občas se lze setkat s tím, že za range je považována celá množina   a obor hodnot zobrazení se pak označuje jako image. Pojem image je v širším kontextu však obecnější, jeho český ekvivalent je obraz množiny.

LiteraturaEditovat

  • BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha: Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6. 

Související článkyEditovat