Obor hodnot

Obor hodnot zobrazení $T:X\to Y$ z množiny $X$ do množiny $Y$ je množina všech hodnot množiny $Y$ , kterých zobrazení $T$ nabývá. Obecně nemusí být zobrazení $T$ projektováno na celou množinu $Y$ , v tom případě tvoří jeho obor hodnot podmnožinu množiny $Y$ . Obor hodnot funkce $f$ je množina všech hodnot, kterých funkce $f$ nabývá.

Definice

V matematické notaci lze obor hodnot pro zobrazení $T:X\to Y$ zapsat následovně:

R_{T}=\{y\in Y|(\exists x\in X)(T(x)=y)\}

.

Obor hodnot zobrazení $T$ resp. funkce $f$ se značí $R_{T}=R(T)$ resp. $R_{f}=R(f)$ ^{[pozn. 1]}. Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.

Příklad

Oborem hodnot nemusí být jen čísla, lze sestrojit zobrazení, které vezme číslo a vrátí zobrazení. Uvažujme množinu ${\mathcal {C}}$ reálných spojitých funkcí reálné proměnné, tj. funkcí $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ a zobrazení $T:\mathbb {R} \to {\mathcal {C}}$ , které vezme číslo $a\in \mathbb {R}$ a vrátí zobrazení $f(x)=\exp(ax)$ . Hodnotou zobrazení $T$ je tedy opět nějaké zobrazení $f$ , které zobrazuje reálná čísla na kladná reálná čísla, tj. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ .

Ve funkcionální analýze se zavádí pojem esenciálního oboru hodnot. Pokud je na množině $M$ daná míra $\mu$ a $f$ je nějaká komplexní funkce definovaná na $M$ , tj. $f:M\to \mathbb {C}$ , pak esenciálním oborem hodnot funkce $f$ rozumíme množinu $R_{\text{ess}}(f)=\{\lambda \in \mathbb {C} |(\forall \epsilon >0)(\mu (M_{\epsilon }(\lambda ))>0)\}$ , kde $M_{\epsilon }(\lambda )=\{x\in M|\ |f(x)-\lambda |<\epsilon \}$ .