Otevřít hlavní menu

Teorie míry

(přesměrováno z Míra (matematika))

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

MíraEditovat

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Přesná definiceEditovat

Mějme měřitelný prostor  . Množinovou funkci   nazveme mírou, jestliže splňuje:

  • Míra prázdné množiny je nulová:  .
  • Míra je vždy nezáporná:  
  • σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin   platí  

Trojici   pak nazýváme prostor s mírou.

Vlastnosti míryEditovat

  •  
  • Pro posloupnost množin   platí:  
  • Pro posloupnost podmnožin   platí:  
  • Naopak pro posloupnost nadmnožin:   pokud   pak platí:  

Příklady měrEditovat

  • Diracova míra  : Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra   je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

 

ReferenceEditovat

  • Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
  • J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

Související článkyEditovat