Míra (matematika)
matematická funkce přiřazující podmnožinám čísla, fungující jako zobecnění délky, obsahu objemu
Míra je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů velikosti (délky, obsahu, objemu, případně i počtu). Míra je zvolený způsob, jakým se měří množiny. Mírou množiny se rozumí již konkrétní výsledek (číslo) přiřazený (naměřený) konkrétní množině tímto způsobem.
Přesná definice Editovat
Mějme měřitelný prostor . Množinovou funkci nazveme mírou, jestliže splňuje:
- Míra prázdné množiny je nulová: .
- Míra je vždy nezáporná:
- σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin platí
Trojici pak nazýváme prostor s mírou.
Vlastnosti míry Editovat
- Pro posloupnost množin platí:
- Pro posloupnost podmnožin platí:
- Naopak pro posloupnost nadmnožin: pokud pak platí:
Příklady měr Editovat
- Diracova míra : Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:
Odkazy Editovat
Literatura Editovat
- Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
- J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF
Související články Editovat
Externí odkazy Editovat
- Obrázky, zvuky či videa k tématu míra na Wikimedia Commons