Míra (matematika)

Míra je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů velikosti (délky, obsahu, objemu, případně i počtu).

Přesná definiceEditovat

Mějme měřitelný prostor . Množinovou funkci nazveme mírou, jestliže splňuje:

  • Míra prázdné množiny je nulová: .
  • Míra je vždy nezáporná:
  • σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin platí

Trojici pak nazýváme prostor s mírou.

Vlastnosti míryEditovat

  • Pro posloupnost množin platí:
  • Pro posloupnost podmnožin platí:
  • Naopak pro posloupnost nadmnožin: pokud pak platí:

Příklady měrEditovat

  • Diracova míra : Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
  • J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF