Teorie míry

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Míra

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Přesná definice

Mějme měřitelný prostor $(X,\Sigma )$. Množinovou funkci $\mu :\Sigma \rightarrow \langle 0,\infty \rangle$ nazveme mírou, jestliže splňuje:

• Míra prázdné množiny je nulová: $\mu (\emptyset )=0$.
• Míra je vždy nezáporná: $\forall A:\mu (A)\geq 0$
• σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin $(A_{i})_{i=1}^{\infty },\ A_{i}\in \Sigma$ platí $\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$

Trojici $(X,\Sigma ,\mu )$ pak nazýváme prostor s mírou.

Vlastnosti míry

• $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)$
• Pro posloupnost množin $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ platí: $\mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$
• Pro posloupnost podmnožin $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq ...$ platí: $\mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$
• Naopak pro posloupnost nadmnožin: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq ...$ pokud $\mu (A_{1})<\infty$ pak platí: $\mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$

Příklady měr

• Diracova míra $\delta _{a}$: Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra $\delta _{a}$ je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

$\delta _{a}(A)={\begin{cases}{\mbox{0 pokud }}a\notin A\\{\mbox{1 pokud }}a\in A\end{cases}}$

• Aritmetická míra
• Lebesgueova míra
• Hausdorffova míra
• Lebesgue-Stieltjesovy míry

Reference

• Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
• J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

Související články

• σ-algebra

Portály: Matematika

Autoritní data: GND: 4074626-4 | PSH: 7462