Prostor s mírou

Prostor s mírou je množina , ve které chceme měřit „plošné obsahy“ (ve trojrozměrném případě „objemy“, v jednorozměrném případě „délky“, obecně „velikosti“), s mírou, jakožto funkcí, která podmnožinám přiřazuje jejich „velikost“. Prostory s mírou jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu. Na teorii míry je vystavěna moderní[Pozn 1] teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor s mírou, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.

Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny může vést[Pozn 2] k Banachově-Tarského paradoxu[1], proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny byly měřitelné. Podle této definice je prostor s mírou tvořen třemi složkami:

  • množinou , jejíž části chceme měřit,
  • souborem všech měřitelných podmnožin množiny , a
  • funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ – nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.

DefiniceEditovat

Prostor s mírou je uspořádaná trojice   kde[2][3]

  •   je nějaká množina
  •   je sigma-algebra na množině  
  •   je nějaká míra na  

Jednoduše lze říct, že prostor s mírou je měřitelný prostor   s mírou na  .

PříkladEditovat

Uvažujme množinu  . Na konečných množinách bývá  -algebra obvykle celá potenční množina, neboli množina všech podmnožin dané množiny značená  . Nechť

 

V tomto jednoduchém případě lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:

 

Míru   definujeme takto

 

takže   (díky aditivitě míry) a   (z definice míry).

Tím dostaneme prostor s mírou  . Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože  . Míra   odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s   které se používá například jako model házení poctivou mincí.

Důležité prostory s mírouEditovat

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. „Moderní“ v tomto případě znamená vytvořená na začátku 20. století.
  2. Pokud předpokládáme platnost axiomu výběru.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measure space na anglické Wikipedii.

  1. TAO, Terence. An introduction to measure theory. Los Angeles: [s.n.], 2011. 267 s. Dostupné online. S. 3. (anglicky) 
  2. KOSOROK, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer, 2008. ISBN 978-0-387-74977-8. S. 83. (anglicky) 
  3. KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI:10.1007/978-1-84800-048-3. S. 18. (anglicky) 
  4. ANOSOV, D.V. Encyclopedia of Mathematics [online]. EMS Press, 2010 [cit. 2020-12-14]. Kapitola Measure space. Dostupné online. (anglicky) 
  5. KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI:10.1007/978-1-84800-048-3. S. 33. (anglicky) 

Související stránkyEditovat