Měřitelný prostor

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry.^[1] Sestává z libovolné neprázdné množiny a $\sigma$ -algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny základní množiny) lze měřit.

DefiniceEditovat

Uvažujme neprázdnou množinu $X$ a $\sigma$ -algebru ${\mathcal {A}}$ na $X$ . Pak uspořádanou dvojici $(X,{\mathcal {A}})$ nazýváme měřitelný prostor.^[2]

Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny základní množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

PříkladEditovat

Uvažujme množinu

X=\{1,2,3\}

.

Jedna z možných $\sigma$ -algeber je

{\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}

.

Pak $(X,{\mathcal {A}}_{1})$ je měřitelný prostor. Další možnou $\sigma$ -algebrou je potenční množina množiny $X$ :

{\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).

Díky tomu jiný měřitelný prostor na množině $X$ je $(X,{\mathcal {A}}_{2})$ .

Obvyklé měřitelné prostoryEditovat

Pokud $X$ je konečná nebo spočetná nekonečná množina, pak obvyklou $\sigma$ -algebrou je potenční množina množiny $X$ , tj. ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)$ . Měřitelný prostor je pak $(X,{\mathcal {P}}(X))$ .

Pokud $X$ je topologický prostor, $\sigma$ -algebra může být borelovská $\sigma$ -algebra ${\mathcal {B}}$ , ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)$ . Měřitelný prostor je pak $(X,{\mathcal {B}}(X))$ , který je obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny všech reálných čísel $\mathbb {R}$ .

Různý význam borelovských prostorůEditovat

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů. Může znamenat:

jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše^[1]
měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel (která je borelovskou $\sigma$ -algebrou)^[3].

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measurable space na anglické Wikipedii.

↑ ^a ^b SAZONOV, V. V. Měřitelný prostor. [s.l.]: Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4.
↑ KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3.
↑ KALLENBERG, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Svazek 77. Švýcarsko: Springer, 2017. (Probability Theory and Stochastic Modelling). ISBN 978-3-319-41596-3. DOI 10.1007/978-3-319-41598-7.

Související článkyEditovat

[eommeasurablespace-1] SAZONOV, V. V. Měřitelný prostor. [s.l.]: Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4.

[Klenke18-2] KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3.

[Kallenberg15-3] KALLENBERG, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Svazek 77. Švýcarsko: Springer, 2017. (Probability Theory and Stochastic Modelling). ISBN 978-3-319-41596-3. DOI 10.1007/978-3-319-41598-7.

[1]

[2]

[3]