Měřitelný prostor

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry. Sestává z libovolné neprázdné množiny a tzv. sigma-algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Definice

Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice $(X,{\mathcal {A}})$, kde

• $X$ je neprázdná množina,
• ${\mathcal {A}}$ je $\sigma$-algebra na množině $X$.

Příklad

Uvažujme množinu $X=\{1,2,3\}$, pak jedna z možných $\sigma$-algeber je

${\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}$ a $(X,{\mathcal {A}}_{1})$ je měřitelný prostor,

další možnou $\sigma$-algebrou je potenční množina množiny $X$, tj.:

${\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X)$ a $(X,{\mathcal {A}}_{2})$ je jiný měřitelný prostor.

Měřitelné prostory

• Pokud $X$ je konečná nebo spočetná množina, pak potenční množina množiny $X$ je $\sigma$-algebrou, tj. ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)$. Měřitelný prostor je pak $(X,{\mathcal {P}}(X))$.
• Pokud $X$ je topologický prostor, pak $\sigma$-algebra může být borelovská množina ${\mathcal {B}}$, tj. ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)$. Měřitelný prostor je pak $(X,{\mathcal {B}}(X))$, obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny reálných čísel $\mathbb {R}$.

Borelovské prostory

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat:

• jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše,
• měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou $\sigma$-algebrou.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measurable space na anglické Wikipedii.

Související články

• Prostor s mírou
• Pravděpodobnostní prostor

Portály: Matematika