Otevřít hlavní menu

-algebra (sigma-algebra, též -těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

V teorii míry se -algebra nazývá měřitelný prostor.

Formální definiceEditovat

Uspořádanou dvojici  , kde   je libovolná množina a   je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme  -algebrou, jestliže   obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

  1.  
  2. jestliže  , pak  
  3. jestliže  , pak  

Další vlastnostiEditovat

  •  -algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků:  ; dostaneme dosazením prázdné množiny za   v poslední části definice
  •  -algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže  , pak  

PoužitíEditovat

Koncept  -algebry je důležitý především v teorii míry, kde se nazývá měřitelný prostor, a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je  -aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině   hodnotu 1.

Měřitelná množinaEditovat

Jestliže   je libovolná množina a   je  -algebra, pak měřitelná množina je libovolná množina, která patří do  .

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat