Otevřít hlavní menu

Hausdorffova míra (dále ) je „nížedimenzionální“ míra na , která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny . Základní myšlenkou je, že množina je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny , platí-li

,

i když je velmi komplikovaná. je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.


Formální definice Hausdorffovy míryEditovat

Definice: Nechť   Definujme

 

kde

 

tady

 

je obyčejná gamma funkce.

 Pro   a   s vlastnostmi jako výše, definujme:

 

  nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na  .

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míryEditovat


  je Borelova regulární míra pro  , není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

  je míra.
  je míra.
  je borelovská míra.

Další zajímavé vlastnosti:

  je čítací míra.
  na  , kde   je Lebesgueova míra.
  na   pro všechna  .
  pro všechna  .
  pro všechny afinní isometrie  .

LiteraturaEditovat

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
  • CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.