Borelovská míra

Borelovská míra je v matematice, jmenovitě v teorii míry definována takto: nechť X je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor a nechť je nejmenší σ-algebra tvořená otevřenými množinami z X, známá jako σ-algebra borelovských množin. Libovolná míra µ definovaná na σ-algebře borelovských množin se nazývá borelovská míra. Někteří autoři navíc vyžadují, aby µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C. Pokud je borelovská míra µ vnitřní regulární míra i vnější regulární míra, nazývá se Borelovská regulární míra (někteří autoři navíc vyžadují, aby byla těsná). Pokud je µ vnitřní regulární a lokálně konečná, nazývá se Radonova míra. Všimněte si, že lokálně konečná borelovská míra automaticky splňuje podmínku, že µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C.

Na reálné oseEditovat

Reálná osa   se svou obvyklou topologií je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor, takže na ní můžeme definovat borelovskou míru. V tomto případě je   nejmenší σ-algebra obsahující otevřené intervaly množiny reálných čísel  . Přestože existuje mnoho Borelovských měr µ, obvykle se používá míra, která přiřazuje každému intervalu   míru  . V praxi tato borelovská míra není nejužitečnější mírou definovanou na σ-algebře borelovských množin; vskutku, Lebesgueova míra   je rozšířením této borelovské míry, která je na rozdíl od borelovské míry úplná. Pro objasnění, když řekneme, že Lebesgueova míra   je rozšířením borelovské míry  , znamená to, že každá borelovsky měřitelná (B-měřitelná) množina E je také lebesgueovsky měřitelná, a pro borelovské množiny se borelovská míra a Lebesgueova míra shoduje (tj.   pro každou Borelovsky měřitelnou množinu).

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Borel measure na anglické Wikipedii.

Externí odkazyEditovat