Integrál

matematická operace užívaná především k výpočtu obsahů

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy. Integrál je v určitém smyslu opak derivace a díky tomu umožňuje v aplikacích najit měnící se veličinu nebo její změnu z informace o tom jakou rychlostí se tato veličina mění, dále v geometrii umožňuje najít rovnici křivky z informace o její tečně nebo obsahy některých útvarů v rovině.

Integrál jako plocha pod křivkou
Animace souvislosti plochy pod grafem funkce (určitý integrál) a primitivní funkcí (neurčitý integrál).

Určitý a neurčitý integrálEditovat

Související informace naleznete také v článcích Primitivní funkce a Určitý integrál.

Pojmem integrál zpravidla rozumíme určitý nebo neurčitý integrál. Jedná se o dvě odlišné koncepce, které spolu úzce souvisí.

Neurčitý integrál je možno chápat jako opak derivace a proto umožňuje z rychlosti měnící se veličiny určit časový průběh této veličiny. Například integrálem funkce popisující rychlost pohybu v čase je funkce popisující polohu objektu jako funkce času. Neurčitý integrál zapisujeme symbolem

 

Určitý integrál je možno (pro nezáporné funkce) chápat geometricky jako obsah plochy pod křivkou definovanou grafem funkce nad určitým zadaným intervalem. Integrál funkce   na intervalu   zapisujeme symbolem

 
V aplikacích určitý integrál často figuruje jako změna veličiny, která se na intervalu   mění rychlostí danou funkcí  .


Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem na konci 17. století. Nezávisle vyvinuli základní větu analýzy, díky níž spojili diferenciální a integrální počet. Nechť ƒ je spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [ab] a funkce F je primitivní k funkci ƒ. Potom hodnota (určitého) integrálu funkce ƒ na tomto intervalu je

 

Určitý integrálEditovat

Související informace naleznete také v článku Určitý integrál.

Určitý integrál je pojem, který ve skutečnosti zahrnuje mnoho různých definic, podle přístupu k tvorbě integrálních součtů. V důsledku toho existuje řada různých určitých integrálů. Mezi ně patří:

Jednotlivé integrály se liší množinou funkcí, které jsou ve smyslu jednotlivých definic integrovatelné. Pokud však je funkce integrovatelná ve smyslu více definic, pak je hodnota integrálu stejná. Definice jsou tedy ekvivalentní nad společnými podmnožinami svých definičních oborů.[1]

V praxi a v základních kurzech matematiky se zpravidla pod pojmem určitý integrál rozumí Riemannův nebo Newtonův integrál.

Neurčitý integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Primitivní funkce.

Neurčitý integrál funkce je množina jejích primitivních funkcí. Používá se zejména k výpočtu určitého integrálu s využitím základní věty integrálního počtu a při řešení diferenciálních rovnic.

Při hledání primitivní funkce se používají různé integrační techniky, například integrace per partes, substituční metoda, rozklad na parciální zlomky.

Vztah mezi určitým a neurčitým integrálemEditovat

Podrobnější informace naleznete v článcích Základní věta integrálního počtu a Riemannův integrál.
  • Určitý integrál zpravidla počítáme pomocí Základní věty integrálního počtu jako změnu primitivní funkce na uvažovaném intervalu. V tomto smyslu je možno určitý integrál vyjadřovat pomocí neurčitého integrálu.
  • Vztahem   je možno definovat primitivní funkci k funkci   pomocí Riemannova integrálu. V tomto smyslu je možno neurčitý integrál vyjadřovat pomocí určitého integrálu. Toto sa využívá v případech, kdy primitivní funkce není elementární funkcí, například integrálsinus. V takovém případě bývá obvyklé použít k výpočtu integrálu numerickou integraci.

AplikaceEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Aplikace integrálu.

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa. Ve fyzice integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti. Integrály se využívají při řešení diferenciálních rovnic, například v populačních modelech.

Zobecnění určitého integráluEditovat

Křivkový integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Křivkový integrál.

Křivkový integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky.

Komplexní integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Integrál komplexní funkce.

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Vícerozměrný integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Vícerozměrný integrál.

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti  . Je-li   funkcí   proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti   označujeme jako vícerozměrný ( -rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

 

Počet integračních znaků   odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

 

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty. Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. plošný a objemový integrál.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. Věta pro Riemannův integrál a Lebesgueův integrál, V. I. Bogachev: Measure Theory, Springer. - http://web.science.upjs.sk/jozefdobos/wp-content/uploads/2012/04/nevlastny.pdf, slovensky

LiteraturaEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat