Otevřít hlavní menu

Integrál

matematická operace užívaná především k výpočtu obsahů
Integrál jako plocha pod křivkou
Co je integrální (animace)

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma.

Mějme funkci ƒ reálné proměnné x na intervalu <ab>. Pod pojmem (určitý) integrál

rozumíme obsah plochy ve dvojrozměrné rovině, který je omezen grafem funkce ƒ, osou x a svislými přímkami x = a a x = b.

Pojmem integrál se občas označuje primitivní funkce F, jejíž derivací je funkce ƒ. To celé se pak nazývá neurčitý integrál a zapisuje se

Integrály, o nichž se píše níže, jsou určité integrály.

Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem na konci 17. století. Nezávisle vyvinuli základní větu analýzy, díky níž spojili diferenciální a integrální počet. Věta zní asi takto: Nechť ƒ je spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [ab] a funkce F je primitivní k funkci ƒ. Potom hodnota (určitého) integrálu funkce ƒ na tomto intervalu je

nebo je-li pak

Obsah

Názorné vysvětleníEditovat

Plocha pod křivkouEditovat

Jednoduše řečeno, je určitý integrál nezáporné funkce jedné proměnné f(x) mezi nějakými dvěma body a, b roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

 

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem tzv. dlouhým s (ſ) (z latinského slova ſumma, summa, což znamená součet). Toto značení vytvořil Gottfried Leibniz. Slovo integrál zavedl Johann Bernoulli. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako  , kde znaménko ∫ značí integrování, a a b jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), dx označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo infinitezimální hodnotu, dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu). Písmeno d se na rozdíl od proměnné nepíše kurzívou.

Klasický „určitý“ integrálEditovat

DefiniceEditovat

Existuje mnoho ekvivalentních definic určitého integrálu.

Aj.

Tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné, ale pokud pro několik definicí funkce integrovatelná je, pak je hodnota integrálu stejná.

Neurčitý integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Primitivní funkce.

Termínem "neurčitý integrál" funkce f se v Česku často rozumí množina jejích primitivních funkcí. Tento zvyk vznikl nejspíše proto, že při výpočtu integrálů "hezkých" funkcí se často využívá primitivních funkcí, a to díky základní větě analýzy.

AplikaceEditovat

Související informace naleznete také ve článku Aplikace integrálu.

Možnosti použití určitého integrálu jsou velmi rozsáhlé.

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa.

Ve fyzice pak určitý integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti.

Newtonův integrálEditovat

Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity, například u spodní meze takto (F je primitivní funkce k f):

 

Například  

Podobně je tomu, pokud některá z mezí leží v nekonečnu:

 

Například  

Složitější typy určitého integráluEditovat

Křivkový integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Křivkový integrál.

Křivkový integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky.

Komplexní integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Integrál komplexní funkce.

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Vícerozměrný integrálEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Vícerozměrný integrál.

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti  . Je-li   funkcí   proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti   označujeme jako vícerozměrný ( -rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

 

Počet integračních znaků   odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

 

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty.

Vztah mezi určitým a neurčitým integrálemEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Základní věta integrálního počtu.

Fyzikální významEditovat

Určitý i neurčitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic - například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, neurčitý integrál ze zrychlení je rychlost apod.

Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od t1 do t2. Pokud polohu v závislosti na čase označíme  , platí tedy

 

Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí

  neboli  

Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.

Neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha. Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí (zvaných primitivní funkce) je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase t, jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase t0.)

Příklad: Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je  , kde   je tíhové zrychlení a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů (kde na povrchu Země se nachází počátek souřadnic). Pro polohu pak platí:

 

Číslo   se nazývá integrační konstanta, za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce   popisuje volný pád z výšky 50 metrů.

Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu. Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit   ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:

 

OdkazyEditovat

LiteraturaEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat