Měřitelný kardinál

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

DefiniceEditovat

Řekneme, že kardinální číslo   je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na   netriviální  -úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než   množin.

VlastnostiEditovat

Měřitelný ultrafiltrEditovat

Každý netriviální  -úplný ultrafiltr   na   definuje  -aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než   množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem   pro   a   jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální  -úplný ultrafiltr na  . Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál  , na němž existuje  -aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální  -úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu   nazývá měřitelný ultrafiltr na   nebo jen míra na  .

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

Měřitelný kardinálEditovat

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je   nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje  -úplný ultrafiltr, pak   je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině   všech funkcí z   do   pro měřitelný kardinál   takto: Nechť   je měřitelný ultrafiltr na  . Pro funkce   definujeme

  •   právě když  
  •   právě když  
  •   právě když   nebo  
  •  , kde  , je taková funkce, která splňuje   pro všechna  
  • funkce f je první za konstantami, je-li   pro všechna   a kdykoli  , pak   pro nějaké  

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li   měřitelný kardinál, pak na   existuje měřitelný ultrafiltr   takový, že identita na   (fce  , že   pro  ) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem   leží právě   nedosažitelných kardinálů.

Související článkyEditovat