Definiční obor

Definiční obor zobrazení $T:X\to Y$ z množiny $X$ do množiny $Y$ tvoří právě ty prvky množiny $X$ , pro něž je definován obraz v množině $Y$ . Obecně nemusí být zobrazení $T$ definováno na celé množině $X$ , v tom případě tvoří jeho definiční obor podmnožinu množiny $X$ . Definiční obor funkce $f$ je množina všech hodnot, pro které je funkce $f$ definována.

Definice Editovat

V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení $T:X\to Y$ zapsat následovně:

D_{T}=\{x\in X|(\exists y\in Y)(T(x)=y)\}

.

Definiční obor zobrazení $T$ resp. funkce $f$ se značí $D_{T}=D(T)$ resp. $D_{f}=D(f)$ . Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.

Omezení definičního oboru Editovat

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci $f:X\to Y$ a platí-li $A\subseteq X$ , můžeme omezit funkci $f$ na množinu $A$ , což značíme:

f|_{A}:A\rightarrow Y

.

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny $A$ stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny $X$ . Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny $A$ . Pro funkci $f$ se $f_{A}$ nazývá zúžení (restrikce) $f$ na množinu $A$ .

Příklad Editovat

Definiční obor mohou kromě čísel tvořit také např. funkce. Uvažujme množinu ${\mathcal {C}}$ reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ a operátor derivace ${\text{Der}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ , který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci, pak definiční obor operátoru derivace ${\text{Der}}$ tvoří ty funkce z ${\mathcal {C}}$ , pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.
Uvažujme topologický prostor $X$ a na něm definované zobrazení $T$ zobrazující do množiny $Y$ . O zobrazení $T$ řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru $X$ , tj. ${\overline {(D_{T})}}=X$ , kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.