Otevřít hlavní menu

Definiční obor

množina všech hodnot, pro které je funkce f definována
Funkce zobrazuje množinu do množiny . V tomto případě je definována na celé množině . V obecnějším případě se však může stát, že ne pro všechny prvky z množiny existuje jejich vzor při zobrazení .

Definiční obor funkce je množina všech hodnot, pro které je funkce definována. Definiční obor můžeme definovat pro jakékoli množinové zobrazení. Nechť je zobrazení z množiny do množiny . Pak definiční obor zobrazení tvoří právě ty prvky množiny , pro něž je definován obraz při zobrazení . Obecně nemusí být zobrazení definováno na celé množině . V tom případě tvoří jeho definiční obor vlastní podmnožinu množiny . Občas se kromě názvu definiční obor používá také označení doména. Definiční obor zobrazení se značí většinou , či . Posledně uvedený symbol pak vychází z anglického názvu pro definiční obor (domain) a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení zapsat jako

PříkladEditovat

  • Funkce   na množině reálných čísel   není definována pro  . Její definiční obor je tedy množina  .
  • Mezi další oblíbené příklady patří funkce složené z funkce tangens, která je definována pro všechna reálná čísla kromě lichých násobků čísla  .
  • Definiční obor ale nemusí tvořit jen čísla. Uvažujme například operátor derivace, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci. Neboli
 

kde jsme jako   označili množinu reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí  . V tomto případě tedy tvoří definiční obor operátoru derivace   ty funkce z  , pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.

NázvoslovíEditovat

Mějme zobrazení  . V závislosti na tom, zda je zobrazení   definováno pro všechny prvky   nebo ne, rozlišujeme následující pojmy:

  • Pokud je zobrazení   definováno pro všechny prvky, tak říkáme, že zobrazuje množinu   do množiny  .
  • Pokud naopak existuje prvek   z množiny  , pro něž není zobrazení   definováno, pak říkáme, že zobrazení   zobrazuje z množiny   do množiny  . Občas se pro tento případ užívá značení, kdy je vstupní množina, tj.  , uvedena v závorce. Neboli
 

Obvykle se ale za množinu   bere právě definiční obor zobrazení   a výše uvedenou konvenci se závorkou není třeba užívat.

Uvažujme nyní topologický prostor   a na něm definované zobrazení  , které zobrazuje do nějaké množiny  . O zobrazení   řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru  . Neboli

 

kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.

Omezení definičního oboruEditovat

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci   a platí-li  , můžeme omezit funkci   na množinu   , což značíme

 

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny   stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny  . Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny  . Pro funkci   se   nazývá zúžení   na množinu  . Místo slova zúžení lze použít i cizí slovo restrikce.

Související článkyEditovat