Uzávěr množiny

Uzávěr množiny (anglicky closure) je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr značíme většinou , popř. .

Neformální úvodEditovat

Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.

Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.

DefiniceEditovat

Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru  , které obsahují   jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny  , značíme  .

  je uzavřená  

Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny   jako množinu   všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí   má neprázdný průnik s  .

 

Vnitřní a vnější bodyEditovat

Uzávěr množiny   metrického prostoru   lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako  , kde   označuje vnitřek množiny  .

Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod   označíme jako vnitřní bod množiny  , pokud existuje takové  , že pro množinu   platí  .

Pokud platí  , pak se množina   nazývá otevřená (v metrice  ).

Pro množiny   metrického prostoru   platí vztahy

  •  
  •  
  •  
  •  
  • pokud  , pak platí také  
  • každá otevřená podmnožina množiny   je podmnožinou  
  • množinu   získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny  .


Je-li   částí metrického prostoru  , pak vnitřek množiny   nazveme vnějškem množiny  . Body nacházející se ve vnějšku   nazýváme vnějšími body množiny  .

Pokud existuje takové okolí   bodu  , že  , pak bod a nazýváme izolovaným bodem.

Jestliže každé okolí bodu   obsahuje prvek množiny   různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny  .

Bod uzávěru je hromadným bodem množiny   (pokud se nejedná o izolovaný bod).

Vlastnosti uzávěruEditovat

  • Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn.  .
  • Uzávěr celého   je  , tzn.  .
  • Pro   platí
    •  
    •  
    •   (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci   a  .)
    •  
    • pokud  , pak  
    • je-li   je podmnožinou uzavřené množiny  , pak  

Související článkyEditovat