Okolí (matematika)

Okolí bodu je podmnožina topologického prostoru, jejíž otevřená podmnožina obsahuje tento bod. Okolí bodu je taková množina, že i „blízké“ body leží stále v této množině. Pomocí okolí bodů se dají definovat pojmy uzávěr a vnitřek množiny, spojité zobrazení, limita funkce a podobně.

Obsah

Neformální úvod

Pojem okolí byl nejprve studován na množině reálných číslech, poté však byl zobecněn na mnohem širší okruh množin. Reálná i komplexní čísla jsou metrickým prostorem a každý metrický prostor je topologickým prostorem. Proto ze všech níže uvedených definice je topologická definice nejobecnější (má smysl na širším okruhu množin než ty zbývající).

Všechny níže uvedené definice jsou ekvivalentní v tom smyslu, že pokud má na nějaké struktuře smysl více než jedna z níže uvedených definice pojmu okolí nebo ε-okolí, pak tyto definice splývají. Například na množině je 1-okolí bodu 3 v metrickém smyslu totožná s 1-okolí bodu 3 podle definice pro reálná čísla.

Vztah okolí k ε-okolí

Ve všech níže uvedených případech, kdy definujeme ε-okolí, platí, že množina A je okolím bodu x, pokud obsahuje jeho ε-okolí pro nějaké ε > 0. Například interval (2.9 , 3.1) je 0.1-okolím bodu 3 a tedy je jeho okolím.

Topologický prostor se od ostatních případů odlišuje tím, že na něm lze definovat okolí, ovšem ne ε-okolí.

ε-okolí v množině reálných čísel

V množině reálných čísel je ε-okolí (ε > 0) bodu x otevřený interval (x-ε, x+ε).

Prstencové nebo také redukované ε-okolí bodu x je pak okolí, které neobsahuje bod x, tedy sjednocení intervalů $(x-\epsilon ,x)\cup (x,x+\epsilon )$.

Pojem okolí a ε-okolí je možno zobecnit na rozšířená reálná čísla, což podstatně zjednoduší definice limity funkce pro různé případy (vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě).

ε-okolí komplexního bodu

$\delta$-okolím komplexního bodu $z_{0}$ označujeme všechny body z komplexní roviny, pro které platí $|z-z_{0}|<\delta$, tzn. body ležící na komplexní rovině uvnitř kružnice se středem v bodě $z_{0}$ a poloměrem $\delta$.

ε-okolí v metrických prostorech

V metrickém prostoru $X$ máme pomocí metriky $d$ definovánu vzdálenost bodů a zavádíme $\epsilon$-okolí bodu $x$ jako

$U_{\epsilon }(x)=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon \}$

Okolí v topologických prostorech

Podmnožinu $U$ topologického prostoru $(X,\tau )$ nazveme okolím bodu $x$, pokud existuje prvek topologie (to je z definice topologie otevřená množina) $O\in \tau$ takový, že $x\in O$ a platí $O\subset U$. Okolí bodu $x$ značíme $U(x)$.

Protože vnitřek množiny je její největší otevřená podmnožina, je množina $U(x)$ okolí bodu $x$ právě tehdy, když $x$ leží v jejím vnitřku.

Portály: Matematika