Okolí (matematika)

matematika

Okolí bodu je podmnožina topologického prostoru, jejíž některá otevřená podmnožina obsahuje tento bod. Okolí bodu je taková množina, že i body „blízké“ původnímu bodu leží stále v této množině. Pomocí okolí bodů se dají definovat pojmy jako uzávěr a vnitřek množiny, spojité zobrazení, limita funkce a podobně.

Úvod editovat

Pojem okolí byl nejprve studován na množině reálných čísel, poté byl zobecněn na mnohem širší okruh množin. Reálná i komplexní čísla jsou metrickým prostorem a každý metrický prostor je topologickým prostorem. Proto ze všech níže uvedených definic je topologická definice nejobecnější (má smysl na širším okruhu množin než zbývající definice).

Všechny níže uvedené definice jsou ekvivalentní v tom smyslu, že pokud má na nějaké struktuře smysl více než jedna z níže uvedených definic pojmu okolí nebo ε-okolí, pak tyto definice splývají. Například na množině je 1-okolí bodu 3 v metrickém smyslu totožné s 1-okolím bodu 3 podle definice pro reálná čísla.

Ve všech níže uvedených případech, kdy definujeme ε-okolí, platí, že množina A je okolím bodu x, pokud obsahuje jeho ε-okolí pro nějaké ε > 0. Například interval (2.9 , 3.1) je 0.1-okolím bodu 3, a tedy je jeho okolím.

Topologický prostor se od ostatních případů odlišuje tím, že na něm lze definovat okolí, ovšem nikoli ε-okolí.

Definice editovat

ε-okolí reálného bodu editovat

 -okolím reálného bodu   je pro   otevřený interval  . Prstencové  -okolí bodu   je pak okolí, které neobsahuje bod  , tedy sjednocení intervalů  . Pojem okolí a  -okolí je možno zobecnit na rozšířená reálná čísla, což podstatně zjednoduší definice limity funkce pro různé případy (vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě).

ε-okolí komplexního bodu editovat

 -okolím komplexního bodu   označujeme všechny body z komplexní roviny, pro které platí  , tzn. body ležící na komplexní rovině uvnitř kružnice se středem v bodě   a poloměrem  .

ε-okolí v metrických prostorech editovat

V metrickém prostoru   s metrikou   zavádíme  -okolí bodu   jako sférické okolí (kouli) o poloměru   následovně:  .

U-okolí v topologických prostorech editovat

Podmnožinu   topologického prostoru   nazveme okolím bodu  , pokud existuje prvek topologie   takový, že   a platí  . Okolí bodu   značíme  .

Protože vnitřek množiny je její největší otevřená podmnožina, je množina   okolí bodu   právě tehdy, když   leží v jejím vnitřku.

Externí odkazy editovat