Otevřená množina

Otevřená množina je matematická vlastnost množin, která je zobecněním otevřeného intervalu reálných čísel. Množina M topologického prostoru anebo metrického prostoru se nazývá otevřená, pokud s každým bodem x, který do ní patří, patří do této množiny i nějaké jeho okolí. Znamená to, že obsahuje s každým bodem i body, které jsou dostatečně blízko.

DefiniceEditovat

Na reálných číslechEditovat

Množina reálných čísel   se nazývá otevřená, pokud pro každý její prvek   existuje   takové, že v   leží i všechna čísla   vzdálená od   méně než   – jinými slovy:

Pro každé   takové, že   platí  .

Příklad 1: Interval   je otevřená množina. Pro číslo 10,01 si můžeme za   zvolit  . (Proto se takovému intervalu říká otevřený interval.)

Příklad 2: Polouzavřený interval   není otevřená množina, protože pro   neexistuje žádné vhodné  .

V metrických prostorechEditovat

Pojem „otevřená množina“ lze zobecnit na libovolný metrický prostor, například na trojrozměrný Euklidovský prostor. Definice pro metrické prostory zní takto:

Podmnožina   množiny   je otevřená, pokud pro každý její bod   existuje koule se středem v  , která celá leží v  . Tedy pro každý bod   existuje   takové, že každé   leží v  .

Reálná čísla jsou metrickým prostorem a obě výše uvedené definice na nich splývají (jsou ekvivalentní).

V topologiiEditovat

Pojem topologický prostor vznikl proto, aby mnoho pojmů z reálných čísel a z metrických prostorů (například konvergentní posloupnost nebo spojité zobrazení) bylo možno zobecnit na ještě širší třídu množin, na kterých nemá smysl definovat metriku. Každý metrický prostor je topologickým prostorem a množina je na něm otevřená v topologickém smyslu, právě když je otevřená v metrickém smyslu.

V topologickém prostoru je ovšem "otevřená množina" základním pojmem – topologický prostor je přímo definován souborem otevřených podmnožin. Topologickým prostorem nazýváme každou dvojici  , kde   je systém podmnožin   a splňuje jisté axiomy (sjednocení libovolného počtu a průnik konečného počtu množin z   leží v  , navíc prázdná množina a X leží v  ). Množiny z   pak nazýváme otevřenými množinami.

Bod   se nazývá vnitřním bodem množiny  , jestliže   a existuje nějaké okolí   bodu   ležící celé v množině  , tj.  . Množina všech vnitřních bodů množiny   se nazývá vnitřek množiny   a označuje  . Je-li množina   totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny   vnitřní, pak je   množina otevřená.[1]

Vlastnosti otevřených množinEditovat

Sjednocení libovolného počtu otevřených množin je otevřené.

Průnik konečného počtu otevřených množin je otevřený.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou otevřené.

Otevřená množina není opak uzavřené. Existují totiž množiny, které jsou zároveň uzavřené i otevřené, nebo množiny, které nejsou ani uzavřené, ani otevřené.

Použití otevřených množinEditovat

Otevřené množiny se používají k definici obecnějších pojmů, k definicím limit posloupností, spojitosti, kompaktnosti, souvislosti apod. Spojité zobrazení je například definováno vlastností, že vzory otevřených množin jsou otevřené.

Pro každou množinu topologického prostoru existuje její největší otevřená podmnožina, která se nazývá vnitřek.

ReferenceEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat