Souvislá množina

Souvislá (A) a nesouvislá (B) množina

Souvislá množina je v topologii množina, kterou nelze rozdělit na dvě disjunktní, neprázdné a otevřené podmnožiny.

Definice

Souvislá množina

Množina $\mathbf {X} \subset \mathbf {M}$, $\mathbf {X} \neq \emptyset$ topologického či metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $\mathbf {A} \subset \mathbf {M}$, $\mathbf {B} \subset \mathbf {M}$ jsou množiny otevřené v M takové, že

• $\mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B}$ a
• $\mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset$.

Pak buď $\mathbf {A} =\emptyset$ nebo $\mathbf {B} =\emptyset$

Ekvivalentní definice

• Množina $\mathbf {X} \subset \mathbf {M}$, $\mathbf {X} \neq \emptyset$ topologického či metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $\mathbf {A} \subset \mathbf {M}$, $\mathbf {B} \subset \mathbf {M}$ jsou množiny uzavřené v M takové, že
  • $\mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B}$ a
  • $\mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset$.

Pak buď $\mathbf {A} =\emptyset$ nebo $\mathbf {B} =\emptyset$

• Je-li $\mathbf {f} :\mathbf {X} \rightarrow [0,1]$ spojité zobrazení a $\{0,1\}\subset \mathbf {f} [\mathbf {X} ]$, pak $\mathbf {f} [\mathbf {X} ]=[0,1]$.

Souvislý prostor

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor $X$ je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v $X$, které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou $X$ a $\emptyset$. V opačném případě bývá prostor $X$ označován jako nesouvislý.

Komponenta souvislosti

Komponenta souvislosti množiny $\mathbf {X} \subset \mathbf {M}$ je každá její maximální (vzhledem k $\subseteq$) souvislá podmnožina.

Související články

• Topologie
• Obloukově souvislá množina

Portály: Matematika