Otevřít hlavní menu

Limita posloupnosti

(přesměrováno z Konvergentní posloupnost)

Limita posloupnosti je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje případně .

Pojem limity posloupnosti lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Formální definiceEditovat

Posloupnost   má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo   platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než  .

Zapsáno symbolicky:

 

Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Důkaz jednoznačnosti limityEditovat

Budeme dokazovat sporem. Předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost   má dvě limity:   a  , přičemž  .

Platí:

 

a

 

Označme   větší z čísel  ,  . Pak pro všechna epsilon, tedy i pro   a pro nějaké   platí:

  a  

Tedy vzdálenost   od bodu   i od bodu   je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

Konvergence posloupnostiEditovat

Pokud k libovolnému číslu   existuje přirozené číslo   takové, že pro všechna   platí  , pak říkáme, že posloupnost   má (vlastní, konečnou) limitu  , popř. že posloupnost konverguje k číslu  . Konvergenci posloupnosti k   zapisujeme

 

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému   takové přirozené číslo  , že pro libovolnou dvojici indexů   platí  , pak je posloupnost   konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.

Divergentní a oscilující posloupnostiEditovat

Říkáme, že posloupnost je

  • konvergentní, pokud má vlastní limitu
  • divergentní, pokud má nevlastní limitu  ,  , je oscilující nebo nemá limitu
  • oscilující, pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.

Konvergence řadyEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Řada (matematika).

Bodová a stejnoměrná konvergenceEditovat

O funkční posloupnosti   říkáme, že (bodově) konverguje k limitní funkci  , pokud pro každé   existuje vlastní limita  . Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost   označíme jako divergentní.

Pokud lze pro libovolné   najít takové  , které je stejné pro všechny body  , a pro všechna   a všechny body   platí

 

pak posloupnost   označíme jako stejnoměrně konvergentní.

Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě   přibližně stejně rychle.

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost   na intervalu   stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému   najít takové přirozené číslo  , že pro každou dvojici   a každé   platí

 

Pokud jsou funkce   na intervalu   spojité a posloupnost   je na   stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu   spojitá také limitní funkce  .

Vlastnosti konvergentní posloupnostiEditovat

Mějme dvě konvergentní posloupnosti  , pro které platí  . Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.

 
 
 
 
 

Z posloupnosti   jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť  .

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti  , pro které platí  , pak jestliže pro každé   je  , pak je také  .

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti  , pro které platí  , pak jestliže existuje posloupnost   taková, že pro každé   je  , pak platí také  .

Je-li   podposloupnost posloupnosti   a platí  , pak platí také  .

Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li   omezená posloupnost v  , pak z ní lze vybrat posloupnost  , která je konvergentní.

Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti), což zapisujeme

 
 

Posloupnost   je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud  

Konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.

Historie pojmuEditovat

Související článkyEditovat