Sjednocení

množinová operace, jejímž výsledkem je množina, která obsahuje prvky, které se nacházejí alespoň v jedné ze sjednocovaných množin
Tento článek je o matematické operaci. Další významy jsou uvedeny na stránce Sjednocení (rozcestník).

V matematice se jako sjednocení dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje každý prvek, který se nachází alespoň v jedné ze sjednocovaných množin, a žádné další prvky. Sjednocení množin a se označuje symbolem .

Sjednocení dvou množin ()

Formální definice

editovat

Pro všechna   platí, že   právě tehdy, když   nebo  . (Jedná se o matematické nebo, tzn. prvek patří do sjednocení i tehdy, nachází-li se v obou množinách.)

V případě, že se jedná o sjednocení více množin, je možno je chápat jako několik postupných sjednocení (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí sjednocení právě tehdy, je-li prvkem alespoň jedné z množin. Např. pro sjednocení tří množin platí, že     právě tehdy, když   nebo   nebo  . Sjednocení   množin   lze zkráceně psát

 

Příklad: Sjednocením množin { 1, 2, 4, 8, 9 } a { 3, 4, 7, 9 } je množina { 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 }. Sjednocením množiny všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, ... } s množinou všech sudých kladných čísel { 2, 4, 6, … } je množina, jejímiž prvky jsou např. čísla 17, 18, 19, 20, ale nepatří do ní např. čísla 9, 15, 27, 63, 121.

V axiomatické teorii množin je sjednocení (také označované jako suma) libovolného (i nekonečného) počtu množin definováno následující konstrukcí vyplývající z axiomu sumy:

 

Z této definice pak jako speciální případ dvouprvkové množiny   vyplývá i klasické sjednocení dvou množin:

 

Vlastnosti

editovat

Operace sjednocení dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn.  . Současné sjednocení všech množin –   – je oběma těmto výrazům rovno, proto je možno psát sjednocení libovolného množství množin bez použití závorek.

Sjednocení je komutativní operace, platí tedy, že  , sjednocované množiny je tedy možno psát v libovolném pořadí.

Neutrálním prvkem pro operaci sjednocení je prázdná množina, tzn.  . Prázdná množina se tak dá chápat jako výsledek sjednocení prázdné množiny množin.

Sjednocením s univerzální množinou získáme opět univerzální množinu, tzn.  .

Vzhledem k definici sjednocení vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce nebo.

Mohutnost sjednocení dvou množin je přinejmenším rovna mohutnosti větší z obou množin, nejvýše pak součtu obou mohutností. Pro konečné množiny platí konkrétně:  .

Sjednocení množin je idempotentní, tzn. platí  .

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat