Sjednocení
V matematice se jako sjednocení dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje každý prvek, který se nachází alespoň v jedné ze sjednocovaných množin, a žádné další prvky. Sjednocení množin a se označuje symbolem .
Formální definice
editovatPro všechna platí, že právě tehdy, když nebo . (Jedná se o matematické nebo, tzn. prvek patří do sjednocení i tehdy, nachází-li se v obou množinách.)
V případě, že se jedná o sjednocení více množin, je možno je chápat jako několik postupných sjednocení (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí sjednocení právě tehdy, je-li prvkem alespoň jedné z množin. Např. pro sjednocení tří množin platí, že právě tehdy, když nebo nebo . Sjednocení množin lze zkráceně psát
Příklad: Sjednocením množin { 1, 2, 4, 8, 9 } a { 3, 4, 7, 9 } je množina { 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 }. Sjednocením množiny všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, ... } s množinou všech sudých kladných čísel { 2, 4, 6, … } je množina, jejímiž prvky jsou např. čísla 17, 18, 19, 20, ale nepatří do ní např. čísla 9, 15, 27, 63, 121.
V axiomatické teorii množin je sjednocení (také označované jako suma) libovolného (i nekonečného) počtu množin definováno následující konstrukcí vyplývající z axiomu sumy:
Z této definice pak jako speciální případ dvouprvkové množiny vyplývá i klasické sjednocení dvou množin:
Vlastnosti
editovatOperace sjednocení dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. . Současné sjednocení všech množin – – je oběma těmto výrazům rovno, proto je možno psát sjednocení libovolného množství množin bez použití závorek.
Sjednocení je komutativní operace, platí tedy, že , sjednocované množiny je tedy možno psát v libovolném pořadí.
Neutrálním prvkem pro operaci sjednocení je prázdná množina, tzn. . Prázdná množina se tak dá chápat jako výsledek sjednocení prázdné množiny množin.
Sjednocením s univerzální množinou získáme opět univerzální množinu, tzn. .
Vzhledem k definici sjednocení vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce nebo.
Mohutnost sjednocení dvou množin je přinejmenším rovna mohutnosti větší z obou množin, nejvýše pak součtu obou mohutností. Pro konečné množiny platí konkrétně: .
Sjednocení množin je idempotentní, tzn. platí .
Související články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu sjednocení na Wikimedia Commons
- Slovníkové heslo sjednocení ve Wikislovníku