Otevřít hlavní menu

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např , je e často nazýván jednotkovým prvkem . V případě použití aditivního značení, např. , je e často nazýván nulovým prvkem . Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Formální definiceEditovat

Buď   množina a   operace na  .

  • Prvek   se nazývá levý neutrální, právě když  .
  • Prvek   se nazývá pravý neutrální, právě když  .
  • Prvek   se nazývá neutrální, právě když  .

PříkladyEditovat

  • Pokud   jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
  • Pokud   jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
  • Pokud   jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
  • Pokud   jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
  • Pokud   je množina všech zobrazení z množiny   do sebe sama a   je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná  .
  • Pokud má   pouze dva prvky   a   a operace   je definována tak, že   a  , jsou oba prvky   a   levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad,   může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny   je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině   levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.[pozn 1]

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak  . V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.

Související článkyEditovat