Otevřít hlavní menu

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné jen dvěma děliteli: jedničkou a samo sebou. Jednička není prvočíslo, neboť nemá dva dělitele. Přirozená čísla větší než jedna, která nejsou prvočísly, se nazývají složená čísla. Prvním prvočíslem je číslo 2, které je jediným sudým prvočíslem.

PříkladEditovat

Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení 3 zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Říkáme, že je těmito čísly nedělitelné. Pouze při dělení 1 a 13 je zbytek 0 (dělitelné). Proto je 13 prvočíslo.

Číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Není proto prvočíslem, ale složeným číslem.

Prvočíselnost jedničkyEditovat

Jak říká základní věta aritmetiky, každé přirozené číslo je možno rozložit na právě jeden prvočíselný součin (např. 12 = 2×2×3). Pokud by byla jednička zahrnuta do množiny prvočísel, bylo by takových rozkladů vždy nekonečně mnoho (12 = 2×2×3 = 1×2×2×3 = 1×1×2×2×3 = …). Proto se jednička za prvočíslo nepovažuje, přestože podmínku dělitelnosti pouze sebou samým a jedničkou splňuje. V rámci obecnějších teorií jsou prvočísla takzvanými prvočiniteli, zatímco jednička patří mezi takzvané jednotky.

VlastnostiEditovat

  • Pokud je   prvočíslo a   dělí součin čísel   a  , pak   dělí   nebo   dělí  .
  • Každé složené číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele) se nazývá faktorizace. Např.  .
  • Okruh   (viz množina zbytkových tříd) je těleso, právě když   je prvočíslo. Jinak vyjádřeno:   je prvočíslo, právě když  , kde   je počet invertovatelných prvků v  .
  • Pokud   je prvočíslo a   je celé číslo, pak   je dělitelné  . (Malá Fermatova věta)
  • Pokud   je kladné celé číslo větší než jedna, existuje prvočíslo   tak, že  . (Bertrandův postulát)
  • Číslo   větší než jedna je prvočíslo, právě když  . (Wilsonova věta)
  • Pokud   je konečná grupa a   je nejvyšší mocnina prvočísla  , která dělí řád grupy  , má grupa   podgrupu řádu  .
  • Pokud   je prvočíslo a   je grupa s   prvky, obsahuje   prvek řádu  .
  • Prvočísel je nekonečně mnoho. (Viz níže.)
  • Suma převrácených hodnot prvočísel diverguje.
  • Hustota prvočísel je asymptoticky  , kde   je přirozený logaritmus n. Přesněji,  , kde prvočíselná funkce   vyjadřuje počet prvočísel menších než  .
  • Největší dnes (prosinec 2018) známé prvočíslo je 282 589 933 − 1, má 24 862 048 dekadických cifer.[1] Je to 51. známé Mersennovo prvočíslo, označované jako M82589933. Bylo nalezeno 7. prosince 2018.

Zkoumáním vlastností prvočísel se zabývá teorie čísel. Zobecněním prvočísel jsou v abstraktní algebře prvočinitelé.

Výskyt prvočíselEditovat

Prvočísel je nekonečně mnoho. (Důkaz sporem: Nechť existuje jen konečně mnoho prvočísel. Označme je  . Potom číslo   není dělitelné žádným z těchto prvočísel, jelikož při dělení dostaneme vždy zbytek 1. Tím pádem číslo   musí být buď prvočíslo, nebo musí být dělitelné nějakým jiným prvočíslem. To ale znamená, že množina prvočísel z počátku důkazu nebyla úplná, což je spor s předpokladem. Tento důkaz předvedl Eukleidés.)

Podle Bertrandova postulátu lze nalézt vždy alespoň jedno prvočíslo mezi čísly   a   pro  . Ve skutečnosti jich však existuje pro vyšší   daleko více. (I z této věty lze dovodit, že prvočísel je nekonečně mnoho.)

Naproti tomu lze nalézt libovolně dlouhé intervaly přirozených čísel, kde se nevyskytuje žádné prvočíslo. Například interval   obsahuje   složených čísel. Tato čísla jsou totiž po řadě dělitelná dvěma, třemi, …,  .

Mnoho hypotéz o rozložení prvočísel je dodnes nevyřešených. Jeden otevřený problém je tzv. Riemannova hypotéza, která souvisí s pravidelností rozložení prvočísel a za jejíž důkaz je vypsána odměna milion dolarů.

Speciální prvočíslaEditovat

Některá prvočísla lze vyjádřit v některé z několika matematicky zajímavých podob. Patří sem například:

  • Fermatova čísla: Prvočísly je prvních pět čísel ve formě  .
  • Mersennova prvočísla: Prvočíslo ve formě  , kde   je jiné prvočíslo. Mersennovými prvočísly je mnoho z největších známých prvočísel.
  • Některá prvočísla lze vyjádřit ve formě  .[2]

VyužitíEditovat

Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích systémech jako je RSA.

Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo síto.

Testování prvočíselnostiEditovat

Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku 2002. Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus prakticky nejvýhodnější. V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů, například Millerova-Rabinova algoritmu.

Testování prvočíselnosti pomocí algoritmu využívajícího vlastností eliptických křivek (ECPP) je nejrychlejší známý algoritmus.[3]

Příklad testovacího algoritmuEditovat

Následující jednoduchý algoritmus implementovaný v jazyce C++ zkouší dělit vstup všemi menšími čísly od 2 do jeho odmocniny - pokud nalezne v tomto intervalu dělitele zadaného čísla, je jasné, že zadané číslo není prvočíslo. Testovat stačí pouze do odmocniny, protože pokud n je složené číslo, můžeme psát:   pro  . Pokud by nestačilo testovat do odmocniny, znamenalo by to, že   a současně  , vynásobíme-li ale tyto dva vztahy, máme  , což je spor.

bool isPrime(int number) {
    if (number < 2) return false;
    if (number == 2) return true;
    if (number % 2 == 0) return false;

    int max = (int) sqrt(number);

    for (int i = 3; i <= max; i += 2) {
        if (number % i == 0) {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

Prvočísla menší než 1000Editovat

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1, GIMPS, 21. 12. 2018
  2. A205776: Primes of the form 2*6^n+1. OEIS
  3. (anglicky)The prime pages, primes.utm.edu

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat