Otevřít hlavní menu

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.

Přesná formulaceEditovat

Pro každé přirozené číslo   existuje právě jedna skupina přirozených čísel větších než 0:   a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel:   tak, že
 

Nástin důkazuEditovat

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

  • pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí - prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem:  
  • pokud platí pro všechna  , pak   je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel - spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů vznikne určitě minimálně jeden rozklad
  • zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tedy stejný, ať je součin zvolen jakýmkoliv způsobem - dokazuje se sporem (pokud pro   existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)

Související článkyEditovat