Základní věta aritmetiky

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.

Přesná formulace

Pro každé přirozené číslo $x\,\!$ existuje právě jedna skupina přirozených čísel větších než 0: $n,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\,\!$ a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: $p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{n}\,\!$ tak, že
$p_{1}^{m_{1}}\cdot p_{2}^{m_{2}}\cdot p_{3}^{m_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{m_{n}}=x$

Nástin důkazu

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

• pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí – prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem: $p=p^{1}\,\!$
• pokud platí pro všechna $i\leq x\,\!$, pak $x+1\,\!$ je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel – spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů vznikne určitě minimálně jeden rozklad
• zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tedy stejný, ať je součin zvolen jakýmkoliv způsobem – dokazuje se sporem (pokud pro $x+1\,\!$ existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)

Související články

• Prvočíslo
• Prvočíselný rozklad
• Největší společný dělitel
• Nejmenší společný násobek

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Základní věta aritmetiky na Wikimedia Commons

Portály: Matematika