Nejmenší společný násobek

Nejmenší společný násobek (zkratka NSN, anglicky LCM - Least Common Multiple) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.

PříkladEditovat

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet pomocí rozkladuEditovat

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.[1][2][3]

Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel)Editovat

  1. Zadaná čísla: 15 a 20
  2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
  3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
  4. Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Ukázka (součin největších možných mocnin)Editovat

  1. Zadaná čísla: 36, 40
  2. 36 = 22 × 32
  3. 40 = 23 × 51
  4. Výsledek: n(36, 40) = 23 × 32 × 51 = 360

Ukázka se třemi číslyEditovat

  1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
  2. 15 = 3 × 5
  3. 20 = 2 × 2 × 5
  4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
  5. Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Výpočet pomocí NSDEditovat

Nejmenší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:[2]

 

VyužitíEditovat

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

 

ZajímavostEditovat

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

DůkazEditovat

Jestliže největší společný dělitel dvou čísel   a   je  , potom lze číslo   rozložit na součin   a číslo   lze rozložit na součin  . Je-li   skutečně největším společným dělitelem, potom   je nejmenším společným násobkem. Součin   je roven  , což je také součin NSD a NSN.

ReferenceEditovat

  1. MASARYKOVA ZŠ V PLZNI. Nejmenší společný násobek. YouTube [online]. 2013-10-20 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online. 
  2. a b VOJÁČEK, Jakub. Nejmenší společný násobek. Matematika pro každého [online]. 2008-05-24 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online. 
  3. SCHOOL ACTION. Nejmenší společný násobek. YouTube [online]. 2008-05-23 [cit. 2017-02-27]. Dostupné online. 

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Plej malgranda komuna oblo na esperantské Wikipedii.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat

  • do-skoly.cz - Online kalkulátor pro výpočet nejmenšího společného násobku 2 - 5 čísel včetně postupu řešení.