Otevřít hlavní menu
Tento článek je o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií pojednává článek Limita (teorie kategorií).
Limit-at-infinity-graph.png

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje a u posloupností případně .

Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Obsah

Limita posloupnostiEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Limita posloupnosti.

Posloupnost  limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo   platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně než  .

Zapsáno symbolicky:

 

Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 …), kterou lze formálně zapsat jako {1-10−j}j.

Limita funkceEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku limita funkce.

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému   existuje takové   , že pro všechna x z  -okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je  .

Limita vzhledem k podmnožiněEditovat

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Nevlastní limitaEditovat

Pokud pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než y, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu  . Obdobně se definuje nevlastní limita  .

Pokud pro funkci v okolí bodu a platí, že pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než y, říkáme, že funkce v okolí bodu a roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu  . Nevlastní limita   se definuje obdobně.

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i   nebo   (rozšířené reálné číslo).

Limita v nevlastním boděEditovat

Stejně jako u posloupností lze zkoumat chování funkcí pro všechny hodnoty argumentu větší než zadané kladné číslo z. Pokud se hodnoty neliší od určitého čísla A o více než předem zadané  , má funkce v nevlastním bodě   vlastní limitu A. Pokud jsou hodnoty větší než libovolné předem dané y, má funkce v nevlastním bodě   nevlastní limitu  .

Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě  .

V každém z nevlastních bodů   nebo   může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů   nebo  , je funkce sinus.

Zobecnění pro topologické prostoryEditovat

Limita zobrazení   mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako   takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že   implikuje  .

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1].

Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

PříkladyEditovat

  • Funkce   není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v   má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
  • Funkce   je v nule spojitá (limita je 0) a v   limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci  
  • Funkce   ani   v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích   či  , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je   a levostranná  . Naproti tomu funkce   a   mají v nule limitu   (nevlastní limita ve vlastním bodě).
  • Funkce   má v   limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v   limitu  .

PoznámkyEditovat

  1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Externí odkazyEditovat