Limita

matematická konstrukce popisující bod, kterému se „blíží“ hodnoty nějaké posloupnosti nebo funkce
Tento článek je o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií pojednává článek Limita (teorie kategorií).

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje a u posloupností .

Limit-at-infinity-graph.png

Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o limitě funkce nebo limitě posloupnosti. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita funkceEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Limita funkce.

Číslo   je limitou funkce   v bodě  , jestliže pro libovolné   existuje   takové, že pro každé   takové, že   (  leží v prstencovém okolí bodu  ) platí  .

Limita posloupnostiEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Limita posloupnosti.

Číslo   je limitou posloupnosti  , jestliže pro libovolné   existuje   takové, že pro každé   platí  .

Limita v metrickém prostoruEditovat

Prvek   metrického prostoru   s metrikou   je limitou posloupnosti jeho prvků  , právě když platí  .

Limita v topologickém prostoruEditovat

Limita zobrazení   mezi topologickými prostory   a   je v bodě   definována jako   takové, že pro každé okolí   bodu   existuje okolí   bodu   takové, že   implikuje  .

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítí[1]. Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu.

Nevlastní limita v nevlastním boděEditovat

Pokud pro libovolné číslo   lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než  , říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu  . Obdobně se definuje nevlastní limita  .

Pokud pro libovolné číslo   lze nalézt okolí bodu  , ve kterém má funkce hodnotu větší než  , říkáme, že v okolí bodu   funkce roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu  . Obdobně se definuje nevlastní limita  .

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i   nebo   (rozšířené reálné číslo).

Pokud se hodnoty limity neliší od čísla   o více než libovolné číslo  , má funkce v nevlastním bodě   vlastní limitu  . Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo  , má funkce v nevlastním bodě   nevlastní limitu  . Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě  .

V každém z nevlastních bodů   nebo   může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů   nebo  , je funkce sinus.

PříkladyEditovat

  • Funkce   není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v   má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
  • Funkce   ani   v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích   či  , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je   a levostranná  .
  • Funkce   a   mají v nule limitu   (nevlastní limita ve vlastním bodě).
  • Funkce   má v nule limitu 0 a v   limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci  .
  • Funkce   má v   limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v   limitu  .

PoznámkyEditovat

  1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Externí odkazyEditovat