L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo umožňuje v některých případech vypočítat limitu podílu dvou funkcí. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí, tj.

Pravidlo bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes [1], avšak objevitelem je pravděpodobně Johann Bernoulli, z jehož přednášek L'Hospital svou knihu sestavoval[2].

PředpokladyEditovat

Nechť   je buď reálné číslo, nebo   (viz rozšířená reálná čísla) a nechť f a g jsou funkce z   (nebo jeho části) do  . Věta platí za těchto předpokladů:

NenulovostEditovat

Funkce   i   musí být nenulové na nějakém okolí čísla   (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou). Pokud např.  , pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval   pro nějaké  , takže například funkce   předpoklad nesplňuje.

Požadovaný typ limityEditovat

Musí platit jedna z podmínek a) nebo b) [3]:

a)  

b)   (Nekonečna nemusí mít stejná znaménka.)

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo spodní limita nevlastní. Tyto případy jsou nazývány "limita typu  " resp. "limita tvaru  ".

Existence limity na pravé straněEditovat

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita : . Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Symbolem   značíme derivaci funkce  .

TvrzeníEditovat

L'Hospitalovo pravidlo říká, že za těchto předpokladů existuje limita

 

a platí

 

Tj. limita podílu funkcí se rovná limitě podílu jejich derivací.

PříkladyEditovat

Limita   v nekonečnuEditovat

 
Graf funkce k příkladu.

Chceme vypočítat  

Máme tedy  .

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý – je nutno ověřit existenci  .

Toto ověření lze provést další aplikací L'Hopitalova pravidla na tuto novou limitu: Limita podílu druhých derivací je  .

Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady druhé aplikace L'Hopitalova pravidla, proto platí  . Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hopitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí  .

Význam předpokladůEditovat

V následujících případech tvrzení L'Hospitalova pravidla neplatí, protože nejsou splněny předpoklady.

Typ limityEditovat

Pravidlo platí jen pro limity typu   či  . Příkladem funkcí, které tento předpoklad nesplňují, je  . Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity podílu derivacíEditovat

Pokud neexistuje  , nelze z toho usuzovat, že neexistuje ani  . Příkladem jsou funkce   pro  .

Pro ně platí  

První člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí   a  . Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule – což plyne z toho, že pro každé   leží   v intervalu  .

ReferenceEditovat

  1. l’Hospital, Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, strany 145–146
  2. Archivovaná kopie. www.techmania.cz [online]. [cit. 2015-03-03]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2015-04-02. 
  3. http://math.feld.cvut.cz/mt/txta/2/txc3aa2f.htm

.