Otevřít hlavní menu

Rozšířená reálná čísla

Rozšířená reálná čísla (značení ) je název používaný v matematické analýze pro množinu , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce je potřeba ošetřit celkem devět možností: i může být reálné číslo, nebo ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádáníEditovat

Aritmetické operaceEditovat

Sčítání a odčítáníEditovat

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např.   .

  •  
  •  
  •  
  •  

Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např.   a také  .

Násobení a děleníEditovat

  •  
  •  
  •  

I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např.   nebo   , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000,   ,   atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnotaEditovat

  •  

Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operaceEditovat

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat   obdobně, jak jsme definovali, že  . Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla – 0,1 ; 0,0001; – 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém – zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k   a  . A bohužel nelze říci, zdali by výsledek   měl být spíše jedno, či druhé.

UspořádáníEditovat

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např.   ;   ;   . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky  

  •  
  •  
  •  

-okolíEditovat

Pojem „  okolí bodu  “ je označován   a má tuto definici:

Pro každé   a   je

  •   pokud  
  •   pokud  
  •   pokud  

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako  .

Okolí vs.  -okolíEditovat

Množina   se nazývá okolím bodu  , pokud obsahuje  -okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

TopologieEditovat

Na   lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na  ) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení  , pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že  .

Limita posloupnostiEditovat

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti   pro konečné i nekonečné   .

Budiž   posloupnost reálných čísel a  . Řekneme, že  , pokud

 

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkceEditovat

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné   a  :

Je-li   funkce,   a   takové, že   leží v uzávěru   ( definiční obor   sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru – viz topologie na   – může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

 

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí   bodu   existuje prstencové okolí   bodu   takové, že obraz   leží v   (tj.  ).

Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby  . Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci   s příslušnou vlastností; poté   zvolme jako  . Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme   a   zvolíme tak, aby  .