Otevřít hlavní menu
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983
0.001 0.999999
0 nedefinováno (0/0)
-0.001 0.999999
-0.01 0.999983
-0.1 0.998334
-1 0.841471
Funkce (sin x)/x není v bodě 0 definována. Ale když se x blíží k nule, hodnota (sin x)/x se blíží k číslu 1. Jinak řečeno limita funkce (sin x)/x pro x blížící se k nule je 1. (Hodnoty sin x zde počítáme v radiánech.)

Limita funkce slouží v matematice ke zkoumání chování funkcí v okolí určitého bodu. Je to základní pojem v matematické analýze a v diferenciálním a integrálním počtu.

Pokud bereme funkci f jako předpis, který hodnotě x přiřazuje funkční hodnotu f(x), pak f má v bodě p limitu L, jestliže pro x v okolí bodu p jsou hodnoty f(x) blízko L. Matematická definice, navržená na začátku 19. století, vyžaduje, aby se pro libovolně malou odchylku od L dalo najít okolí bodu p, že pro každé x v tomto okolí se f(x) liší od L o méně než povolenou odchylku.

Matematicky zapisujeme, že pro x blížící se k p se hodnota f(x) blíží k L výrazem .

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“ (viz tabulka s funkcí (sin x)/x vpravo), můžeme funkci opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limit-at-infinity-graph.png

Pojem limity má mnoho aplikací v matematické analýze. Například definice spojitosti používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě. Limity se proto používají pro funkce, které se chovají „nepěkně“; u „pěkných“ (například spojitých) funkcí je možné pracovat přímo s funkčními hodnotami. Jak snadno můžeme dostat „nepěknou“ funkci ukazuje definice derivace: derivace je limita podílu přírůstku funkce při malé změně x (z x na x+h) dělené změnou x:

Pokud bychom dosadili za h nulu, dostali bychom výraz nula děleno nulou. Pokud použijeme příliš velký přírůstek h, hodnotu derivace nedostaneme přesně. Použitím malých hodnot h dostaneme hodnotu limity s libovolnou přesností.

Limita reálné funkce reálné proměnnéEditovat

Definice podle CauchyhoEditovat

 
Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A.
Říkáme, že reálné číslo   je limitou funkce   v bodu  , jestliže   leží v uzávěru   a k libovolnému reálnému číslu   existuje takové   , že pro všechna   taková, že   (  tedy musí ležet v tzv. prstencovém okolí bodu   platí  .

Tato definice říká, že f(x) má v a limitu A, jestliže f(x) se liší od čísla A velmi málo, je-li x hodně blízko bodu a.

Limitu má smysl zkoumat jen v uzávěru definičního oboru D (bez samotného bodu a); jinými slovy, libovolně blízko k bodu a musí být funkce někde definována. Definice neobsahující tuto podmínku by umožnila tvrdit, že funkce f(x)=x definovaná na intervalu   má v bodě 6 limitu -123456 (každé číslo by bylo limitou v každém bodě, který není "nekonečně blízko" k definičnímu oboru).

Definice podle HeinehoEditovat

Hlavní myšlenka je problém limity funkce převést na již známý problém limity posloupnosti.

Nechť   je hromadným bodem D(f) (v každém jeho prstencovém okolí leží alespoň jeden bod D(f)). Číslo A nazveme limita funkce f v bodě   právě tehdy, když pro každou posloupnost   platí  .
Značíme  

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Pokud je limita počítána v definované části funkce, jedná se o funkční hodnotu tohoto místa, právě když je v tom místě funkce spojitá.

Limita v nekonečnu a nevlastní limitaEditovat

Související informace naleznete také v článku Limita#Vlastní a nevlastní limita.

Pomocí rozšířených reálných čísel lze definovat limitu i v případě, že a nebo A je kladné nebo záporné nekonečno.

Pro   rozlišujeme 4 případy, vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě. Pro vlastní limity platí, že  , pro nevlastní potom   nebo  . Pro limity ve vlastním bodě platí  , pro limity v nevlastním bodě potom   nebo  

Příklad vlastní limity v vlastním bodě (  )

 

Příklad nevlastní limity v vlastním bodě (  )

 

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě (  )

 

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě (  )

 

Limita funkce více proměnnýchEditovat

O funkci   n-proměnných   říkáme, že má v bodě   limitu K, pokud ke každému (libovolně malému) číslu   existuje takové číslo  , jež je v obecném případě závislé na volbě  , že pro všechny body   z  -okolí bodu A s výjimkou samotného bodu A platí  . Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů.

  •  
  •  
  •  
  •  

Limita funkce n proměnných je tedy definována obdobným způsobem jako limita funkce jedné proměnné.

U funkce n proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, tzn.  , ale také vzhledem několika nebo jen jedné z proměnných, tzn. např.  . Tedy např.

 ,

kde g je funkcí   proměnných.

Limita komplexní funkceEditovat

O komplexní funkci   definované v okolí bodu   říkáme, že má v   limitu  , jestliže k libovolnému   existuje  -okolí bodu   takové, že

 

Limitu v bodě   zapisujeme

 .

Formálně je tedy zápis stejný jako v případě reálných funkcí.

Limita   může být komplexním číslem.

Limita zprava a zlevaEditovat

 
Limity x → x0+ ≠ x → x0-. Proto limita pro x → x0 neexistuje.

O funkci   říkáme, že má v bodě   limitu   zprava, resp. zleva, pokud k libovolnému číslu   existuje takové číslo  , jehož hodnota může v obecném případě záviset na volbě  , že pro všechna x z pravého resp. levého okolí bodu  , z něhož vyjmeme bod  , tedy pro všechna x splňující podmínku  , resp.  , platí  , což zapisujeme

  - označována jako limita zprava
  - označována jako limita zleva

Funkce   má v bodě a limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají.

 
Funkce y = 1/x nemá v bodě 0 limitu.

Funkce   nemá v bodě 0 limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity

 
 

Vlastní a nevlastní limitaEditovat

Limitu   nazýváme vlastní nebo konečnou limitou funkce   v bodě a, je-li   konečné číslo.

Limitu funkce   v daném bodě a označíme jako nevlastní  , resp.  , pokud k libovolně velkému číslu   existuje takové  , že pro všechna x z  -okolí bodu a s výjimkou bodu a samotného platí  , resp.  , tedy

 
 

Nevlastní limitu lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu a.

Limita v nevlastních bodechEditovat

Limitu funkce lze počítat ve vlastních i nevlastních bodech, přičemž vlastním bodem je myšleno libovolné reálné číslo, nevlastním pak   či  .

Říkáme, že funkce  vlastní limitu   v nevlastním bodě   resp.   právě tehdy když:

  resp.  .

Také v nevlastním bodě může být limita nevlastní, tzn.  .

VlastnostiEditovat

  • Mějme libovolné číslo c, funkci  , která má v bodě a limitu A a funkci  , která má ve stejném bodě limitu B, pak platí následující vztahy
    •  
    •  
    •  
    •  , pokud  
  • Mějme funkci  , která má v bodě a limitu A, tzn.  , a funkci  , která má v bodě A limitu B, tedy  . Pokud existuje takové  , že pro všechna x splňující podmínku   platí  , pak
 
  • Máme-li dvě funkce  , pro něž v okolí nějakého bodu a platí  , pak v případě, že obě funkce mají v bodě a limitu, bude platit
 
  • Pokud v okolí bodu a platí   a existují limity   a  , pak existuje také limita  , a její hodnota je   (tzv. věta o třech limitách, známá spíše jako věta o dvou policajtech).

Příklad funkce bez limityEditovat

 
Příklad funkce bez limity v bodě x=1

Funkce

 

nemá limitu v bodě  .

Historie pojmuEditovat

Související článkyEditovat