Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje .

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.

Definice editovat

Definice podle Cauchyho editovat

 
Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A.

Číslo   je limitou funkce   v bodě  , jestliže k libovolnému   existuje takové  , že pro všechna   taková, že   (  leží v prstencovém okolí bodu  ) platí  .

Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod  , tj. libovolně blízko k bodu   musí být funkce definována.

Definice podle Heineho editovat

Číslo   je limitou funkce   v hromadném bodě   definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost  , kde   a   platí  .

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Definice pomocí spojitosti editovat

V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí

 
právě tehdy, když je funkce   definovaná předpisem
 
spojitá v bodě  . Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).

Limita zprava a zleva editovat

 
Limity x → x0+ ≠ x → x0. Proto limita pro x → x0 neexistuje.

Funkce   má v bodě   jednostrannou limitu   zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu   existuje číslo   takové, že pro všechna   splňující podmínku   resp.  , tj. pro všechna   z levého resp. pravého okolí bodu  , platí  , tj.:

  - limita zleva
  - limita zprava

Funkce   má v bodě   limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce   nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:

 
 

Limita funkce více proměnných editovat

Funkce  -proměnných   má v bodě   limitu  , jestliže k libovolnému číslu   existuje číslo   takové, že pro všechny body   z  -okolí bodu   s výjimkou samotného bodu   platí  . Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:

  •  
  •  
  •  
  •  

U funkce  -proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např.  , kde   je funkcí   proměnných.

Limita komplexní funkce editovat

Komplexní funkce   definovaná v okolí bodu   má v bodě   limitu  , jestliže k libovolnému   existuje  -okolí bodu   takové, že

 .

Limitu v bodě   zapisujeme:

 ,

kde limita   může být komplexním číslem.

Nevlastní limita v nevlastním bodě editovat

Pro limitu funkce   rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:

  • Limitu funkce   nazýváme vlastní limitou funkce   ve vlastním bodě  .
  • Limitu funkce   nazýváme nevlastní limitou funkce   ve vlastním bodě  .
  • Limitu funkce   nazýváme vlastní limitou funkce   v nevlastním bodě.
  • Limitu funkce   nazýváme nevlastní limitou funkce   v nevlastním bodě.

Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu  .

Příklady editovat

Příklad vlastní limity ve vlastním bodě:

 

Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě:

 

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě:

 

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě:

 

Vlastnosti editovat

  • Mějme funkci  , která má v bodě   limitu   a funkci  , která má ve stejném bodě limitu  , pak pro libovolné číslo   platí následující vztahy:
    •  
    •  
    •  
    •  , pokud  
  • Mějme funkci  , která má v bodě   limitu  , tedy  , a funkci  , která má v bodě   limitu  , tedy  . Pokud existuje takové  , že pro všechna   splňující podmínku   platí  , pak:
 
  • Máme-li funkce   a  , pro něž v okolí bodu   platí  , pak v případě, že obě funkce mají v bodě   limitu, bude platit:
 
  • Máme-li funkce  , pro něž v okolí bodu   platí   a existují-li limity   a  , pak existuje také limita:
 

Příklad funkce bez limity editovat

 
Příklad funkce bez limity v bodě x=1

Funkce

 

nemá limitu v bodě  .

Související články editovat

Externí odkazy editovat