Otevřít hlavní menu
Tento článek je o spojitosti funkcí na reálných číslech. O obecnějším pojmu na topologických prostorech (jehož speciálním případem je i spojitost reálných funkcí) pojednává článek Spojité zobrazení.
Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:

  • Funkce je v bodě x0 definována (x0 patří do definičního oboru).
  • V bodě x0 existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
    .[1][2]

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Cauchyho definiceEditovat

O funkci   řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu   existuje takové číslo  , že pro všechna x, pro něž platí  , platí také

 .

Velikost čísla   může záviset nejen na volbě čísla  , ale i na volbě bodu a.

Funkci   označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému   existuje takové  , že pro všechna   (resp.  ), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu  , je  . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci  , kde   jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě  , pokud ke každému (libovolně malému) číslu   existuje takové číslo  , že pro všechny body   z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku  , platí

 .

Heineho definiceEditovat

Nechť   je hromadným bodem  . Funkce   je spojitá v bodě   právě tehdy když   platí  .

Spojitost komplexní funkceEditovat

O komplexní funkci   říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě   komplexní roviny platí

 .

Je-li funkce   spojitá v každém bodě určité oblasti  , pak říkáme, že je spojitá v  .

Bod nespojitostiEditovat

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti, singularity.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod  , ve kterém má funkce   limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn.  .[2] Rozdíl mezi těmito čísly, tzn.  , nazýváme skokem funkce v bodě  .[1]

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod  , v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních (konečných) jednostranných limit.[2]

Pokud v bodě   existuje vlastní (konečná) limita  , avšak funkce   není v bodě a definována, nebo je  , pak bod   označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce  .[1]

Funkci, která je definována na intervalu  , označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

 
Druhy bodů nespojitosti

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod  . Bod   je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod   je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu  .

Stejnoměrná spojitostEditovat

Mějme funkci   na intervalu  , pro niž k libovolnému   existuje   takové, že pro libovolné dva body   z intervalu   splňující   platí  . Pak říkáme, že funkce   je stejnoměrně spojitá na intervalu  .

Weierstrassova větaEditovat

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu   lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v   posloupností polynomů, tzn. k libovolnému   existuje polynom   takový, že   pro všechna  .

Absolutně spojitá funkceEditovat

Funkci   označíme jako absolutně spojitou na intervalu  , jestliže k libovolnému   existuje takové  , že pro každý systém intervalů   pro který je  , a   platí  .

Je-li funkce   absolutně spojitá na intervalu  , pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

PříkladyEditovat

 
Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

VlastnostiEditovat

  • Má-li funkce   v bodě   konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
  • Pokud je funkce   spojitá v bodě   a funkce   spojitá v bodě  , pak složená funkce   je spojitá v bodě  .
  • Je-li funkce   spojitá na uzavřeném intervalu  , pak na   existuje alespoň jeden bod   takový, že   pro všechna   Jedná se o maximum funkce   na intervalu   Současně také existuje alespoň jeden bod   takový, že   pro všechna  . Jedná se o minimum funkce   na intervalu  . Funkce spojitá na uzavřeném intervalu   je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. a b c Matematika polopatě [online]. Nová média, c2006-2014 [cit. 2015-12-06]. Kapitola Spojitost funkce. Dostupné online. 
  2. a b c Math Tutor [online]. [cit. 2015-12-06]. Kapitola Spojitost reálných funkcí. Dostupné online.