Spojitá funkce

Tento článek je o spojitosti funkcí na reálných číslech. O obecnějším pojmu na topologických prostorech (jehož speciálním případem je i spojitost reálných funkcí) pojednává článek Spojité zobrazení.

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, což si lze intuitivně představit tak, že graf funkce lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností požadovaných po matematických funkcích, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku, např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce definovat následovně:

  • Funkce je v bodě spojitá, právě když platí .
  • Funkce je na intervalu spojitá, právě když pro každé platí .

DefiniceEditovat

O funkci   řekneme, že je spojitá v bodě  , pokud ke každému libovolně malému číslu   existuje takové číslo  , že pro všechna  , pro něž platí  , platí také  . Velikost čísla   může záviset nejen na volbě čísla  , ale i na volbě bodu  .

Funkci   označujeme jako spojitou zprava resp. zleva, pokud k libovolnému   existuje takové  , že pro všechna   resp.  , tzn. pro všechna   z pravého resp. levého okolí bodu  , platí  . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Uvedenou Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci   proměnných. O funkci   o proměnných   řekneme, že je spojitá v bodě  , pokud ke každému libovolně malému číslu   existuje takové číslo  , že pro všechny body   z okolí bodu  , tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku  , platí  .

Stejnoměrná spojitostEditovat

Funkce   je stejnoměrně spojitá, jestliže obrazy   a   sobě dostatečně blízkých bodů   a   jsou si také dostatečně blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě blízkých bodů, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

DefiniceEditovat

  • Nechť   a   jsou metrické prostory. Funkci   nazveme stejnoměrně spojitou, pokud k libovolnému   existuje   takové, že pro libovolné dva body   platí, že pokud  , tak  .
  • Mějme funkci   definovanou na intervalu  , pro niž k libovolnému   existuje   takové, že pro libovolné dva body   z intervalu   splňující podmínku   platí  . Pak říkáme, že funkce   je stejnoměrně spojitá na intervalu  .
  • Mějme funkci  , kde   a  , pak říkáme, že funkce   je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností   a   splňujících podmínku   platí  .

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota   závisí pouze na velikosti  , a nikoli na bodu  .

VlastnostiEditovat

  • Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
  • Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
  • Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.
  • Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
  • Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
  • Pokud je reálná funkce   spojitá na intervalu   a existuje vlastní limita  , pak je funkce na intervalu   stejnoměrně spojitá.

PříkladyEditovat

  • Funkce   je pro   stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
  • Exponenciální funkce   je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
  • Nechť   je metrický prostor. Pak   je stejnoměrně spojitá funkce.

Absolutní spojitostEditovat

Absolutní spojitost funkce zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

DefiniceEditovat

Funkce   je absolutně spojitá na intervalu  , jestliže k libovolnému   existuje takové  , že pro každý systém intervalů  , pro který je   a   platí  .

Ekvivalentní definiceEditovat

Funkce   je absolutně spojitá na   právě tehdy, když

  •   je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
  •   taková, že  
  •   taková, že  .

Pokud   a  , pak   je absolutně spojitá na  .

VlastnostiEditovat

  • Je-li funkce   absolutně spojitá na intervalu  , pak je na tomto intervalu spojitá.
  • Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
  • Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
  • Lipschitzovská funkce je absolutně spojitá.
  • Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
  • Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
  • Absolutně spojitá funkce  derivaci skoro všude a platí:  .

PříkladyEditovat

  • Funkce   je absolutně spojitá.

PolospojitostEditovat

Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Funkce   je shora polospojitá v bodě  , pokud pro body   blízké bodu   není   o moc větší než  . Funkce   je zdola polospojitá v bodě  , pokud pro body   blízké bodu   není   o moc menší než  .

DefiniceEditovat

 
Shora polospojitá funkce.
  • Funkce  , kde   je topologický prostor, je shora polospojitá v bodě  , pokud pro každé   existuje okolí   bodu   tak, že pro každé   platí  .
  • Funkce   je shora polospojitá v   , jestliže je shora polospojitá v každém bodě  . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru   otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že   je shora polospojitá v bodě  , pokud  .

 
Zdola polospojitá funkce.
  • Funkce  , kde   je topologický prostor, je zdola polospojitá v bodě  , pokud pro každé   existuje okolí   bodu   tak, že pro každé   platí  .
  • Funkce   je zdola polospojitá v   , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě  . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru   otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že   je zdola polospojitá v bodě  , pokud  .

VlastnostiEditovat

  • Nerovnost   ukazuje, že pokud je   v bodě   polospojitá shora i zdola, je již v bodě   spojitá.
  • Nerovnost   ukazuje, že pokud je   v bodě   polospojitá shora i zdola, je již v bodě   spojitá.
  • Funkce  , která je shora polospojitá na kompaktním prostoru  , je již nutně shora omezená na   a má na   maximum.
  • Funkce  , která je zdola polospojitá na kompaktním prostoru  , je již nutně zdola omezená na   a má na   minimum.
  • Protože  , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí   opět zdola polospojité.
  • Protože  , je infimum libovolného systému shora polospojitých funkcí   opět zdola polospojité.
  • Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad  .
  • Norma na Banachově prostoru   je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru  ). Je-li dimenze   nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.

PříkladyEditovat

Spojitost komplexní funkceEditovat

Komplexní funkce   je spojitá v bodě   části komplexní roviny  , na které je definovaná, jestliže platí:

 .

Je-li funkce   spojitá v každém bodě oblasti  , pak říkáme, že je spojitá na oblasti  .

Věty o spojitostiEditovat

  • Heineho věta říká, že funkce   definovaná na prstencovém okolí bodu   je v bodě   spojitá, právě když pro každou posloupnost čísel   z uvedeného okolí bodu   takovou, že   a   platí  .
  • Weierstrassova věta říká, že je-li funkce   spojitá na uzavřeném intervalu  , pak na intervalu   existuje alespoň jeden bod   takový, že   pro všechna  . Jedná se o maximum funkce   na intervalu  . Současně také existuje alespoň jeden bod   takový, že   pro všechna  . Jedná se o minimum funkce   na intervalu  . Funkce spojitá na uzavřeném intervalu   je tedy na tomto intervalu také ohraničená.
  • Weierstrassova aproximační věta říká, že máme-li funkci   spojitou na intervalu  , pak pro každé   existuje polynom   takový, že   pro všechna  .
  • Bolzanova věta říká, že je-li funkce   spojitá na uzavřeném intervalu   a splňuje-li podmínku  , pak existuje alespoň jeden bod   takový, že  .
  • Darbouxova věta říká, že je-li funkce   spojitá na uzavřeném intervalu  , pak pro   a   platí  , tj. ke každému   existuje   tak, že  .

Poznamenejme, že v anglické a francouzské matematické literatuře se pod pojmem Darbouxova věta rozumí většinou věta říkající, že derivace diferencovatelné funkce na otevřeném intervalu má tzv. vlastnost nabývání mezihodnot. V části ruské matematické literatury se pod pojmem Darbouxova věta rozumí věta uvedená v předchozím odstavci.

Body nespojitostiEditovat

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti:

Pokud v bodě   existuje vlastní oboustranná limita, avšak je různá od funkční hodnoty v bodě  , tj.  , pak v bodě   nastává odstranitelná nespojitost funkce  , funkci lze v bodě   předefinovat.

Bod nespojitosti prvního druhu funkce   - takový bod  , v němž existují obě vlastní limity zprava i zleva, avšak tyto limity mají rozdílné hodnoty, tj.  . Rozdíl mezi těmito čísly, tj.  , nazýváme skokem funkce v bodě  .

Bod nespojitosti druhého druhu funkce   - takový bod  , v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních jednostranných limit.

 

Funkci, která je definována na intervalu  , označíme jako po částech spojitou, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

VlastnostiEditovat

  • Má-li funkce   v bodě   konečnou derivaci, pak je v bodě   také spojitá.
  • Pokud je funkce   spojitá v bodě   a funkce   spojitá v bodě  , pak složená funkce   je spojitá v bodě  .

PříkladyEditovat

 
Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle
  • Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
  • Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla). Obecněji, všechny elementární funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru.
  • Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0. I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1. V tomto bodě je bod nespojitosti prvního druhu. Funkce má skok o velikosti 2.
  • Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle. V každém z těchto bodů je bod nespojitosti prvního druhu se skokem o velikosti 1.
  • Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá. Tato funkce má v každém bodě bod nespojitosti druhého druhu.
  • Funkce   není definovaná v bodě   a má zde konečnou limitu   Jedná se tedy o odstranitelnou nespojitost. Spojitým dodefinováním funkční hodnoty v počátku vznikne funkce sinc.

LiteraturaEditovat

  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 
  • JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. 7. vyd. Praha: Academia, 1984. 392 s. 

Související článkyEditovat