Dělení nulou
Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako , kde a je dělenec. V oborech reálných ani komplexních čísel nemá takové dělení smysl – nula je jediné číslo, kterým nelze dělit. V oboru komplexních čísel rozšířených o (komplexní) nekonečno je definováno pro všechny nenulové dělence jako .[1]
Při dělení v plovoucí řádové čárce může být výsledkem speciální hodnota not a number (není číslo) nebo nekonečno.
Interpretace v elementární aritmetice
editovatKdyž se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“.
Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.
Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.
Rané pokusy
editovatBrahmaguptův spis Brāhmasphuṭa-siddhānta z roku 628 je první, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. Brahmagupta píše:
Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.
Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:
Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.
Bháskara II. se pokusil problém vyřešit definováním . Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.
Např. , což by při odstranění zlomků vycházelo . To je nesmysl.
Algebraická interpretace
editovatPřirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno.
Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, hodnota je takovým číslem, pro které platí rovnice . Například
vyjadřuje fakt, že číslo je tím číslem, které lze dosadit do výrazu
- .
Avšak v případě
neexistuje žádné číslo, kterým by bylo možno nahradit otazník ve výrazu
- ,
neboť jakékoli číslo násobené nulou je nula, nikoli šest.
Algebraicky vyjádřeno: pokud , lze rovnici zapsat jako , tedy prostě . V tomto případě tedy rovnice nemá žádné řešení, pokud , a má nekonečně mnoho řešení, pokud . Ani v jednom případě tedy výraz nedává smysl a výsledek dělení nulou tak není definován.
Mylné závěry při dělení nulou
editovatPokud by bylo nějak definováno dělení nulou, mohlo by dojít k mnoha absurdním výsledkům. Příkladem je falešný důkaz, že , např.:
- Pro každé reálné číslo platí:
- Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby
- Vydělíme obě strany výrazem (zde je ve skutečnosti dělení nulou, protože )
- Což je:
- Protože může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme .
Chybou je v tomto případě předpoklad, že (tzn. 0/0) se rovná 1. K podobným nesmyslm vede jakákoliv jiná hodnota přiřazená jako výsledek 0/0.
Limity a dělení nulou
editovatNa první pohled vypadá možné definovat jako limitu pro jdoucí k 0.
Pro každé kladné platí:
Pro každé záporné platí:
Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.
Zaprvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.
Zadruhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:
- ,
což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.
Dále neexistuje žádná zřejmá definice , která by mohla být odvozena za použití limit. Limita
neexistuje. Limita
- ,
kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec. (Viz též L'Hospitalovo pravidlo.)
Dělení nulou v počítačích
editovatStandard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v plovoucí řádové čárce, podporovaný skoro všemi moderními procesory, specifikuje, že každá operace v plovoucí řádové čárce včetně dělení nulou má dobře definovaný výsledek. V IEEE 754 je a ÷ 0 kladné nekonečno, pokud je a kladné; záporné nekonečno, pokud je a záporné, a NaN (not a number), pokud a = 0. V IEEE 754 jsou dvě nuly: kladná a záporná; při dělení zápornou nulou jsou ve výsledku opačná znaménka oproti uvedeným výsledkům.
S celočíselným dělením nulou se obvykle zachází jinak, protože neexistuje celočíselná reprezentace takového výsledku. Některé procesory vygenerují výjimku při pokusu o dělení nulou, jiné prostě pokračují a vygenerují nesprávný výsledek dělení (často nulu nebo velké kladné či záporné číslo jako aproximaci nekonečna), případně jde o nedefinované chování.
Reference
editovat- ↑ M. Hušek, P. Pyrih et al. Matematická analýza 4, kapitola Komplexní funkce, s. 2. Univerzita Karlova v Praze
Související články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu dělení nulou na Wikimedia Commons