IEEE 754 (známý také jako IEC 60559, případně IEC 559) neboli Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v pohyblivé řádové čárce (někdy též nesprávně v plovoucí desetinné čárce) je nejrozšířenější standard pro výpočty v pohyblivé řádové čárce, který používá mnoho mikroprocesorů a jednotek FPU. Standard definuje formáty pro reprezentaci čísel v pohyblivé desetinné čárce včetně záporné nuly, denormalizovaných čísel a zvláštních hodnot (kladné a záporné nekonečno, a „nečíslo“ – NaN).

Verze standarduEditovat

  • IEEE 754-1985 – byl poprvé implementován v koprocesoru Intel 8087
  • IEEE 754-2008 – rozšiřuje IEEE 754-1985; převzaly ho také ISO/IEC/IEEE 60559:2011

IEEE 754-1985 definuje čtyři formáty čísla pro: jednoduchou přesnost (single, 32 bitů), dvojnásobnou přesnost (double, 64 bitů), základní-rozšířenou přesnost (≥ 43-bitů, běžně se nepoužívá) a dvojitou-rozšířenou přesnost (≥ 79-bitů, obvykle se implementuje na 80 bitů). Pro implementaci standardu je vyžadována pouze základní přesnost, ostatní jsou volitelné.

IEEE 754-2008 rozšiřuje předchozí standard o čísla s poloviční a čtyřnásobnou přesností, dále doplňuje formáty pro práci s desítkovou aritmetikou v plovoucí řádové čárce.

IEEE 754-2008 IEEE 754-1985 bitů základ znaménko exponent mantisa pozn.
binary16 16b 2 1b 5b 10+1b(*) poloviční přesnost, "Half"
binary32 single 32b 2 1b 8b 23+1b základní přesnost
binary64 double 64b 2 1b 11b 52+1b dvojitá přesnost
extended(x86) 80b 2 1b 15b 64b+1b dvojitá rozšířená přesnost
binary128 128b 2 1b 15b 112+1b čtyřnásobná přesnost
decimal32(x) 32b 10 1b -95 až +96 7 číslic základní přesnost
decimal64(x) 64b 10 1b -383 až +384 16 číslic dvojitá přesnost
decimal128(x) 128b 10 1b -6143 až +6144 34 číslic čtyřnásobná přesnost
(*) zápis 10+1b označuje, že mantisa je uložená 10bitově, přičemž se používá 1 "skrytý" bit
(x) každý decimální formát připouští dvě reprezentace, buď s využitím binárního kódování mantisy, nebo s využitím kódování DPD, kdy se 3 desítkové číslice zakódují do deseti bitů.

Reprezentovatelný rozsah číselEditovat

Pokud převedeme rozsah exponentů a mantis do desítkové soustavy, dostaneme méně přesný, avšak lépe představitelný obraz možností binárních formátů čísel v plovoucí řádové čárce. Pokud FPU jednotka umí pracovat s denormalizovanými čísly, dochází ke zlepšení rozsahu v okolí nuly. Nejmenší denormalizované číslo je rovněž nejmenším "kvantem", po kterém se mohou měnit normalizovaná nebo denormalizovaná čísla v blízkosti nuly (tj. čísla s "nejzápornějším" exponentem).

Většinu destinných čísel nelze přesně převést do dvojkové soustavy. Při převodu pak vznikají periodická čísla, která nejsou v binárních formátech IEEE 754 reprezentovatelná. Např. (0,1)10 = (0,000 1100 1100 1100 ...)2. Protože mantisa má omezený počet číslic, je nevyhnutelné zaorkouhlení, kvůli kterému vzniká nepřesnost.

Formát
(IEEE 754-2008)
velikost mantisy(*)
(počet desítkových číslic mantisy)
reprezentovatelná

celá čísla(+)

největší kladné číslo nejmenší kladné

normalizované číslo

nejmenší kladné

denormalizované číslo

binary16 ≈ 3,3 desítkových číslic +-211, tj.+-2048 6.55... × 104 6.10... × 10−4 ≈ 6 × 10−8
binary32 ≈ 7,2 desítkových číslic +-224, tj. ≈ +-1,6×107 3.402823... × 1038 1.17549... × 10−38 ≈ 1.4 × 10−45
binary64 téměř 16 desítkových číslic +−253,tj. ≈ +-9×1015 1.79769... × 10308 2.22507... × 10−308 ≈ 5 × 10−324
binary128 ≈ 34 desítkových číslic +−2113, tj. ≈ +-1034 1.18973... × 104932 3.36210... × 10−4932 ≈ 6,5 × 10−4966
(*) tento údaj nám pomáhá uvědomit si s jakou přesností pracujeme; např. přesnost zhruba "3,3 číslic" znamená "o trochu lepší přesnost výpočtů než se zaokrouhlováním na tři platné desítkové číslice"
(+) tento údaj reprezentuje rozsah, ve kterém lze bez ztráty přesnosti provést převod mezi celým číslem a číslem v plovoucí řádové čárce; vzhledem ke struktuře binárních formátů IEEE754 tento rozsah odpovídá velikosti mantisy

Základní přesnost (single, binary32)Editovat

Číslo v pohyblivé řádové čárce zabírá v přesnosti „single“ právě 32 bitů. Přitom je jeden bit vyhrazen pro určení znaménka, 8 bitů pro zakódování exponentu v aditivním kódování (také kód s posunutou nulou) a 23 bitů pro zakódování mantisy.

bit 31 30 29 … 24 23 22 21 … 3 2 1 0
význam s (znaménko) e (exponent) m (mantisa)

podrobněji rozepsáno:

bit 31 30 29 24 23 22 21 3 2 1 0
význam s e7 e6 e1 e0 m1 m2 m20 m21 m22 m23

Pro reprezentovanou hodnotu "X" platí.

 X = (-1)s × 2E-127 × (1 + Q)

kde:

 E = 27 × e7 + 26 × e6 + … + 21 × e1 + e0
 Q = m1 × 2−1 + m2 × 2−2 + … + m22 × 2−22 + m23 × 2−23

Můžeme si povšimnout, že místo aby mantisa obsahovala bit m0, tak se k ní vždy přičítá jednička. Tento "skrytý bit" umožňuje efektivnější kódování a porovnávání. Díky absenci m0 je vyloučena možnost zakódovat stejné číslo mnoha různými způsoby. Současně bychom se tím však zbavili možnosti zakódovat číslo nula. Proto výše uvedený základní vzorec platí pouze když je E v mezích 1 až 254, hodnoty E=0 a E=255 jsou použity pro vyjádření speciálních případů, kdy nelze výsledek operace pomocí výše uvedeného vzorce zakódovat:

podmínka hodnota poznámka
E = 1 až 254 X = (-1)s × 2E-127 × (1 + Q) základní formát
E = 0, Q ≠ 0 X = (-1)s × 2−126 × Q denormalizovaná čísla
E = 0, Q = 0, s = 0 X = 0 kladná nula
E = 0, Q = 0, s = 1 X = 0 záporná nula
E = 255, Q = 0, s = 0 X = +∞ kladné nekonečno (výsledek byl příliš vysoký)
E = 255, Q = 0, s = 1 X = −∞ záporné nekonečno (výsledek byl příliš nízký)
E = 255, Q > 0 X = NaN není číslo

Ostatní dvojkové formátyEditovat

Ostatní formáty se základem 2 jsou řešeny obdobně jako základní přesnost, pouze jsou jiné počty bitů pro pole e a m

Desítkové formátyEditovat

Desítkové formáty se zatím běžně nepoužívají, standard navíc připouští dvě různé implementace, které mohou být u některých formátů i částečně funkčně odlišné. Tyto implementace se liší v kódování mantisy, které je buď binární anebo využívá schéma DPD pro zakódování tří desítkových číslic do deseti bitů.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat