Limita posloupnosti

matematický pojem

Limita posloupnosti je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané nekonečné posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje .

DefiniceEditovat

Číslo   je limitou posloupnosti  , jestliže pro libovolné   existuje   takové, že pro každé   platí  .

Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Důkaz jednoznačnosti limityEditovat

Důkaz sporem: předpokládejme, že posloupnost   má dvě limity   a  , přičemž  , pak platí:

 

a

 .

Označme   větší z čísel   a  , pak pro všechna   a pro libovolné   platí:

  a  .

Tedy vzdálenost   od bodu   i od bodu   je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

Konvergentní posloupnostiEditovat

Pokud k libovolnému číslu   existuje přirozené číslo   takové, že pro všechna   platí  , pak říkáme, že posloupnost  vlastní limitu  , popř. že posloupnost konverguje k číslu  :

 .

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému   takové přirozené číslo  , že pro libovolnou dvojici indexů   platí  , pak je posloupnost   konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.

Bodová konvergence funkční posloupnostiEditovat

Pokud k libovolnému číslu   existuje přirozené číslo   takové, že pro všechna   platí  , pak říkáme, že funkční posloupnost   bodově konverguje v bodě   k limitní funkci  :

 .

Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost   označíme jako bodově divergentní.

Stejnoměrná konvergence funkční posloupnostiEditovat

Pokud k libovolnému číslu   existuje přirozené číslo   takové, že pro všechna   a pro všechny body   platí  , pak říkáme, že funkční posloupnost   stejnoměrně konverguje na intervalu   k limitní funkci  :

 .

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost   na intervalu   stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému   najít takové přirozené číslo  , že pro každou dvojici   a každé   platí  .

Pokud jsou funkce   na intervalu   spojité a posloupnost   je na   stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu   spojitá také limitní funkce  .

Vlastnosti konvergentní posloupnostiEditovat

  • Mějme dvě konvergentní posloupnosti  , pro které platí  . Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní:
 
 
 
 
 ,
kde z posloupnosti   jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť  .
  • Máme-li dvě konvergentní posloupnosti  , pro které platí  , pak jestliže pro každé   je  , pak je také  .
  • Máme-li dvě konvergentní posloupnosti  , pro které platí  , pak jestliže existuje posloupnost   taková, že pro každé   je  , pak platí také  .
  • Je-li   podposloupnost posloupnosti   a platí  , pak platí také  .
  • Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li   omezená posloupnost v  , pak z ní lze vybrat posloupnost  , která je konvergentní. Tato věta je založena na axiomu výběru, proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí. Podle této věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší, tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti, což zapisujeme:
  a  ,
kde posloupnost   je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud  , konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.

Divergentní a oscilující posloupnostiEditovat

Říkáme, že posloupnost je

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat