Posloupnost

seřazený seznam prvků
(přesměrováno z Hromadný bod posloupnosti)

Posloupnost (sekvence) je v matematice konečná nebo nekonečná sada objektů, v níž záleží na pořadí a objekty se mohou opakovat. Například zápis libovolného slova (nebo libovolný řetězec znaků) lze považovat za konečnou posloupnost písmen. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí.

Pokud jsou všechny členy posloupnosti čísla, mluvíme o číselné posloupnosti. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném eukleidovském prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.

Formální definiceEditovat

Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné množiny.

Nekonečná posloupnost je zobrazení množiny přirozených čísel do libovolné množiny.

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Posloupnost značíme obvykle  , i když správnější by bylo (podobně jako u uspořádané n-tice)  ,  ,   nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze  . Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti  , např.   odpovídá posloupnosti  

Druhy posloupnostíEditovat

Jsou-li členy posloupnosti čísla, hovoříme o číselné posloupnosti, jsou-li to funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu   přiřazuje funkci  , přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle  , ale také na parametrech funkce   (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Číselné posloupnostiEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Číselná posloupnost.

Číselná posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu   přiřazuje číslo  , přičemž   závisí pouze na hodnotě  .

Číselná posloupnost může být zadána rekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např. Fibonacciho posloupnost:

 .

Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Vybraná posloupnostEditovat

Je-li   posloupnost (obecně reálných) čísel a   rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak složené zobrazení   nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z   (jinými slovy, z   vybereme některé členy, ale tak, že jejich indexy rostou, např. všechny liché členy).

Posloupnosti v topologických prostorechEditovat

Posloupnosti hrají důležitou roli v topologii, zvláště ve studiu metrických prostorů. Například:

Posloupnosti lze zobecnit na sítě nebo filtry. Tato zobecnění nám umožňují rozšířit některé z výše uvedených vět na prostory bez metriky.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Sequence na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat