Filtr (matematika)

Pojem filtr je v matematice, konkrétně v teorii uspořádání používán pro podmnožiny uspořádaných množin, jejichž prvky lze v jistém smyslu považovat za „velké“ podle daného uspořádání.

DefiniceEditovat

Máme-li množinu   uspořádanou relací  , pak o její podmnožině   řekneme, že je filtr vzhledem k  , pokud je   dolů usměrněná horní množina v   .

Podrobněji:

  • aby byla   horní, musí s každým svým prvkem obsahovat i všechny větší prvky:  
  • aby byla   dolů usměrněná, musí s každými dvěma prvky obsahovat nějaký prvek menší než oba:  

PříkladyEditovat

  • Prázdná množina   je filtr.
  • Pokud má množina   nejmenší prvek, pak je sama sobě filtrem - určitě je sama v sobě horní a díky existenci nejmenšího prvku navíc i dolů usměrněná.

Prázdná množina a celá podkladová množina   nejsou příliš zajímavé filtry, a jsou proto z uvažování o filtrech obvykle vylučovány. Je zaváděn pojem vlastní filtr jako každý filtr kromě prázdné množiny a celé množiny a mluví-li se o filtrech, rozumí se tím pouze vlastní filtry.

  • V množině   všech reálných čísel uspořádaných běžným způsobem podle velikosti je každý shora neomezený interval (ať již zdola otevřený nebo zdola uzavřený) filtrem.
  • Obecněji: pokud je   lineární uspořádání, pak je každá horní množina filtr.

Pro lineární uspořádání se tedy filtry redukují na horní množiny. Zajímavější je situace pro uspořádání, která nejsou lineární, viz následující oddíl Filtry na potenční množině.

Dualita filtru a ideáluEditovat

Duálním pojmem k pojmu filtr je v teorii uspořádání ideál. Veškeré úvahy a poznatky o filtrech lze (v duální podobě) aplikovat na ideály a naopak. Dalo by se říci, že článek o ideálech je duální k tomuto článku.

V případě filtrů a ideálů na potenční algebře množiny   lze dokonce definovat pro filtr   a ideál  :

  • duální ideál k filtru   je definován jako  
  • duální filtr k ideálu   je definován jako  

Platí, že

  •  
  •  
  • pokud je   ultrafiltr, pak je   prvoideál
  • pokud je   prvoideál, pak je   ultrafiltr

Filtry na potenční množiněEditovat

Jako potenční algebra je obvykle označována potenční množina   všech podmnožin množiny   s operacemi sjednocení, průniku a doplňku a s uspořádáním relací „být podmnožinou 

Co musí splňovat množinový systém   , aby byl vlastním filtrem?

  • S každým svým prvkem musí   obsahovat i všechny nadmnožiny tohoto prvku.
  • Pro každé dva své prvky musí   obsahovat i jejich průnik.
  • Nesmí to být ani prázdná množina, ani celá množina  .

Příklad první - hlavní filtrEditovat

Uvažujme pro množinu   systém všech jejích nadmnožin v  :
 

Jedná se o filtr (to se dá ověřit jednoduchým použitím definice), který se nazývá hlavní filtr určený množinou   .

Pokud je množina   navíc jednoprvková, pak pro každé   platí buď  , a nebo  , ale nikdy ne zároveň - jedná se tedy o ultrafiltr, obvykle označovaný jako triviální ultrafiltr.

Příklad druhý - Fréchetův filtrEditovat

Fréchetův filtr je filtr všech doplňků konečných množin na množině všech množin přirozených čísel  . Doporučuji si vyzkoušet, že se jedná o filtr, ale nikoliv o ultrafiltr, protože neobsahuje ani množinu všech sudých čísel, ani její doplněk - množinu všech lichých čísel.

Pokud se vrátíme k motivaci filtru jako určitého rozdělení na prvky, které jsou považovány za „velké“ (prvky filtru) a na ty ostatní, pak pro Fréchetův filtr toto platí beze zbytku - obsahuje množiny, pro které existuje největší přirozené číslo, které v něm neleží.

Podle tohoto filtru je postavena běžná definice limity posloupnosti:
Je-li   posloupnost, pak její limitou je bod  , pokud pro každé okolí   bodu   leží množina   ve Fréchetově filtru.

Pojem limity lze zobecnit (výše popsaným způsobem) na pojem F-limity podle filtru F.

Související článkyEditovat