Ultrafiltr

Ultrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.

DefiniceEditovat

Je-li   množina a   její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina   je ultrafiltr, pokud platí:

  1.   neobsahuje prázdnou množinu
  2.  
  3.  
  4.  

Vysvětlení definiceEditovat

Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina - jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr - ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina  

Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina   nebo její doplněk  . Pokud by pro některou množinu   obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i   , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.

Zjednodušeně řečeno, „seká“ ultrafiltr celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina - její doplněk vybírá přesně jednu možnost.

Příklady a vlastnostiEditovat

Triviální ultrafiltrEditovat

Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny  , hlavní filtr určený množinou   tedy lze zapsat jako
 
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou  , kde  . Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.

Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny  .
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny  .

Uniformní ultrafiltrEditovat

Ultrafiltr   na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina   mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.

Základní věta o ultrafiltrechEditovat

Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.

Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality - větu nelze dokázat, bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.

Dualita s prvoideálemEditovat

Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem - prvoideál. Ke každému ultrafiltru   existuje duální prvoideál - množina všech doplňků z  :
 

Vztah platí i opačně - množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr - duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí
 

Související článkyEditovat