Dolní a horní množina
Horní množina a dolní množina jsou matematické pojmy z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které formalizují představu množiny, která obsahuje „s každým svým prvkem i všechny menší“ (dolní množina), resp. „s každým svým prvkem i všechny větší“ (horní množina).
Definice
editovatPředpokládejme, že množina A je uspořádána relací R a B je podmnožina A.
Řekneme, že B je dolní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny menší prvky množiny A, tj.
Řekneme, že B je horní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny větší prvky množiny A, tj.
Příklady
editovatUvažujme množinu všech reálných čísel s jejím běžným uspořádáním podle velikosti.
- Horní množiny na jsou právě všechny shora neomezené intervaly (ať již zdola otevřené nebo uzavřené).
- Dolní množiny na jsou právě všechny zdola neomezené intervaly (ať již shora otevřené nebo uzavřené).
Uvažujme množinu všech celých kladných čísel částečně uspořádanou relací S = { [a,b] : a dělí b }.
- Každá dolní množina musí obsahovat číslo 1, protože 1 dělí každé číslo, takže .
- Ze stejného důvodu existuje pouze jedna horní množina, která obsahuje číslo 1 - je to celá množina . Platí totiž, že 1 dělí každé kladné celé číslo a pokud má horní množina obsahovat jedničku, musí obsahovat i všechna čísla, která jsou dělitelná jedničkou.
- Množina obsahující pouze číslo 1 a nějaká prvočísla je dolní množina (například {1,3,5,13}, ale také nekonečná množina obsahující číslo 1 a všechna prvočísla).
- Množina obsahující všechna čísla ze kromě čísel 1,2,3,4 a 11 je horní množina.
- Zajímavé je, že množina všech sudých čísel je horní množina v — s každým číslem obsahuje i všechny jeho násobky. Naproti množina všech lichých čísel je dolní množina v — s každým číslem obsahuje i všechny jeho dělitele. V tomto příkladě je dobře vidět, jak moc záleží na tom, jaké zvolíme uspořádání. Kdybychom místo dělitelnosti zvolili běžné uspořádání podle velikosti, pak množina sudých čísel rozhodně nebude horní a množina lichých čísel rozhodně nebude dolní (na to by byly příliš „děravé“).
