Doplněk množiny

Doplněk množiny A v U:

V matematice se pojmy doplněk množiny nebo komplement množiny označuje množina všech prvků, které nejsou v a přitom v nějaké jiné (předem dané) množině jsou obsaženy (na obrázku v ). Aby bylo možné doplněk definovat, je třeba znát množinu, vzhledem ke které se doplněk počítá. Je to operace ekvivaletní množinovému rozdílu .

Místo se někdy užívá značení nebo

Formální definiceEditovat

Máme-li množinu   a její podmnožinu  , definujeme doplněk množiny   vzhledem k množině   jako  . Tedy   obsahuje všechny prvky, které jsou v  , ale nejsou v  .

Pokud máme pevně danou univerzální množinu  , můžeme zkráceně hovořit jen o "doplňku  ".

PříkladyEditovat

Pokud   je univerzální množina a  , je  

Pokud za univerzální množinu vezmeme množinu všech přirozených čísel bez nuly, doplňkem všech lichých čísel je množina všech sudých čísel. Doplňkem množiny   je pak množina všech přirozených čísel větších než 2.

Pokud jsou univerzální množinou reálná čísla, je doplňkem všech algebraických čísel množina všech transcendentních čísel.

VlastnostiEditovat

Následující pravidla uvádí několik základních vlastností doplňku množiny. Mějme univerzální množinu   a její podmnožiny  ,  

  • A  AC  =  U
  • A  AC  =  ∅
  • C  =  U
  • UC  =  ∅
  • Pokud AB, pak BCAC
  • ACC  =  A.

De Morganovy zákony:

  • (A ∪ B)C = AC ∩ BC
  • (A ∩ B)C = AC ∪ BC

Související článkyEditovat