Otevřít hlavní menu

Cauchyovská posloupnost

posloupnost, jejíž členy se k sobě blíží nekonečně blízko

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

DefiniceEditovat

V metrickém prostoru M s metrikou   je posloupnost   cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:

 .

Definici lze aplikovat i na racionální a reálná čísla (jakožto jednorozměrný metrický prostor s eukleidovskou metrikou): Posloupnost   racionálních nebo reálných je cauchyovská, pokud ke každému   existuje index   takový, že jím počínaje jsou všechny následující členy od sebe vzdáleny o méně než  :

 .

Důsledky definiceEditovat

  • Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor  , v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru  , se nazývá úplný metrický prostor.
  • Každá konvergentní posloupnost reálných čísel je cauchyovská a naopak. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná a postačující podmínka konvergence v reálném oboru. Cauchyovská posloupnost racionálních čísel však může mít iracionální limitu.
  • Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

PříkladyEditovat

  • Harmonická posloupnost   je cauchyovská.
    Důkaz: Pro libovolně zvolené   lze vždy najít   tak, že pro libovolná   platí
     .
  • Posloupnost racionálních čísel   je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.