Cauchyovská posloupnost

posloupnost, jejíž členy se k sobě blíží nekonečně blízko

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru (tj. množiny, na které je definována vzdálenost mezi každými dvěma prvky), jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Obráceně to platí pouze v úplném metrickém prostoru – v úplném metrickém prostoru má každá cauchyovská posloupnost limitu.

(a) Graf Cauchyovké posloupnosti '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' uvedené modře, jako závislost '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' na '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'. Pokud prostor obsahující posloupnost je úplný, leží v něm „konečný cíl“ této posloupnost (tj. limita).
(a) Graf Cauchyovké posloupnosti uvedené modře, jako závislost na . Pokud prostor obsahující posloupnost je úplný, leží v něm „konečný cíl“ této posloupnost (tj. limita).
(b) Posloupnost, která není Cauchyovská. Členy této posloupnosti se neblíží libovolně blízko.
(b) Posloupnost, která není Cauchyovská. Členy této posloupnosti se neblíží libovolně blízko.

DefiniceEditovat

V metrickém prostoru M s metrikou   je posloupnost   cauchyovská, pokud pro každou libovolně malou (ale nenulovou) vzdálenost platí, že od jistého bodu jsou všechny členy posloupnosti k sobě blíže než je tato vzdálenost. Tuto tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínku lze formálně zapsat

 .

Definici lze aplikovat i na racionální a reálná čísla (jakožto jednorozměrný metrický prostor s eukleidovskou metrikou): Posloupnost   racionálních nebo reálných čísel je cauchyovská, pokud ke každému   existuje index   takový, že jím počínaje jsou všechny následující členy od sebe vzdáleny o méně než  :

 . Množina racionálních čísel není úplná, takže cauchyovská posloupnost racionálních čísel nemusí mít limitu (může konvergovat k iracionálnímu číslu). Množina reálných čísel úplná je, takže každá cauchyovská posloupnost reálných čísel má limitu.

Důsledky definiceEditovat

  • Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor  , v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru  , se nazývá úplný metrický prostor.
  • Každá konvergentní posloupnost reálných čísel je cauchyovská a naopak. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná a postačující podmínka konvergence v reálném oboru. Cauchyovská posloupnost racionálních čísel však může mít iracionální limitu.
  • Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

PříkladyEditovat

  • Harmonická posloupnost   je cauchyovská.
    Důkaz: Pro libovolně zvolené   lze vždy najít   tak, že pro libovolná   platí
     .
  • Posloupnost racionálních čísel   je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.

PoužitíEditovat

Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat