Banachova věta o pevném bodě

Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Znění větyEditovat

Nechť   je neprázdný úplný metrický prostor a   je kontrakce na  . Pak existuje právě jeden prvek   takový, že  .

DůkazEditovat

  je kontrakce, existuje tedy   takové, že pro všechny   platí

 .

Zvolme libovolně  . Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro   jako  . Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy

 

Pro dané  ,   a   (bez újmy na obecnosti volíme  ) hledáme  . Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne

 

dále z vlastnosti kontrakce a sečtením   členů geometrické posloupnosti

 
 

Limita posledního výrazu pro   je nula, pro každé   tedy existuje  , že

 

a posloupnost   je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor   úplný, Cauchyovská posloupnost   konverguje k nějakému  .

 

z věty o limitě složené funkce (vnější funkce   je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)

 

  je tedy pevným bodem zobrazení  .


Zbývá ukázat, že   je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body   a  .

 

protože   je kladné můžeme obě strany krátit a zbude

 ,

což je spor, protože  .