Trojúhelníková nerovnost

matematický vztah

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Reálná a komplexní číslaEditovat

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel   a   ve tvaru

 

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslechEditovat

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

  a zároveň

 .

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla   a   a sečteme-li je, dostáváme

  a

 .

Z definice absolutní hodnoty   víme, že může nabývat jen hodnot   nebo  . Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostorEditovat

V normovaném vektorovém prostoru   s normou   má trojúhelníková nerovnost tvar

 

pro každé dva vektory   a   z  .

Lp prostoryEditovat

V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostorEditovat

V metrickém prostoru   s metrikou   má trojúhelníková nerovnost tvar:

 

to jest, že vzdálenost   a   není větší než součet vzdálenosti z   do   a vzdálenosti z   do  .

DůsledkyEditovat

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

  pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

  pro normované vektorové prostory a

  pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce   jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.