Bez újmy na obecnosti

Bez újmy na obecnosti (BÚNO) je v matematice ustálený obrat používaný zejména v důkazech. Obvykle je používán v situacích, kdy se důkaz rozpadá na několik případů, které lze dokázat stejným či obdobným způsobem (například díky symetrii), a mluvčí touto frází dává najevo, že když si vybere a dokáže jeden z nich, dokáže tím vlastně zároveň i všechny ostatní a tím dokončí i důkaz jako celek.

Příklad

Bolzanova věta z reálné analýzy říká, že je-li funkce $f(x)$ spojitá na uzavřeném intervalu $\langle a,b\rangle$ a $f(a)\cdot f(b)<0$, pak existuje alespoň jeden bod $c\in (a,b)$ takový, že $f(c)=0$.

Důkaz může začínat:

Z $f(a)$ · $f(b)<0$ vyplývá, že $f(a)$ a $f(b)$ jsou nenulové a mají opačná znaménka. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $f(a)<0$ a $f(b)>0$.....

a následuje už jen důkaz tohoto případu. Je totiž zjevné, že v druhém případě stačí takový důkaz aplikovat na funkci $-f$, která je rovněž spojitá na daném intervalu, nabývá hodnoty nula ve stejných bodech a splňuje $f(a)<0$ a $f(b)>0$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ohne Beschränkung der Allgemeinheit na německé Wikipedii.

Portály: Matematika