Stejnoměrná konvergence

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je druh konvergence. Posloupnost $\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{n=\infty }$ funkcí konverguje stejnoměrně k funkci $f$ (nazývané též limitní funkce), pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x. Stejnoměrná konvergence implikuje konvergenci bodovou, Vztah mezi těmito konvergencemi popisuje Diniho věta.

Definice

V metrických prostorech

Stejnoměrnou konvergenci v metrickém prostoru definujeme takto

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall x\in M,\forall n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$

či ekvivalentně

$\lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in M}|f_{n}(x)-f(x)|=0$. Kde M je množina z daného prostoru.

Tedy posloupnost konverguje, pokud ke každému kladnému číslu $\varepsilon$ lze najít index, od kterého je každý prvek posloupnosti v $\varepsilon$-ovém okolí limitní funkce. Či ekvivaletně jestliže limita supréma vzdálenosti jednotlivých prvků posloupnosti a limitní funkce je nula.

V uniformních prostorech

Podrobnější informace naleznete v článku Uniformní prostor.

K zavedení pojmu stejnoměrné konvergence funkcí z $X$ do $Y$ nestačí, aby $Y$ byl pouze topologický prostor, topologická struktura, k tomu neposkytuje dostatek informací. Na druhou stranu není nutné mít tak detailní strukturu, jakou poskytuje metrický prostor. Proto vznikl pojem uniformní prostor, který obsahuje právě informaci k tomu potřebnou.

Pro neprázdnou množinu $X$, uniformní prostor $(Y,U)$ a množinu funkcí ${f_{n}}$ z $X$ do $Y$ se říká, že stejnoměrně konverguje k funkci $f:X\to Y$, pokud ke každému $V\in U$ existuje $N\in \mathbb {N}$, takové že pro všechna $n\geq N$ a $x\in X$ platí $(f_{n}(x),f(x))\in V$.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Uniform convergence na anglické Wikipedii.

Související články

• Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence
• Řada (matematika)

Externí odkazy

• Uniform convergence [online]. EMS Press. (Encyclopedia of Mathematics). Dostupné online.  (anglicky)