Bodová konvergence

Bodová konvergence (anglicky pointwise convergence) je v matematice jedním z druhů konvergence posloupnosti funkcí. Bodová konvergence je slabší než stejnoměrná konvergence, se kterou je často porovnává.^[1]^[2]

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je silnější druh konvergence, než bodová konvergence. Posloupnost $\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{n=\infty }$ funkcí konverguje stejnoměrně k limitní funkci f, pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x.

Stejnoměrná konvergence implikuje i konvergenci bodovou. Opačně to neplatí: příkladem posloupnosti funkcí, která konverguje k nulové funkci $f(x)=0$ bodově, ale ne stejnoměrně, je posloupnost, jejímž $n$ -tým členem je funkce, která přiřazuje každému reálnému číslu $x$ hodnotu $f_{n}(x)={\frac {x}{n}}$ . Jde o posloupnost přímek, které se více a více přibližují k vodorovné ose x. Zároveň však existuje $\varepsilon >0$ (například rovno jedné) tak, že pro sebevětší index $n_{0}$ se v těch bodech $x_{0}$ , které jsou dostatečně vzdáleny od počátku, $n_{0}$ -tá funkce liší od nuly (tj. od cílové $f(x_{0})$ o více než $\varepsilon$ . Konkrétně lze zvolit např. $x=2*n_{0}$ .

Bodová konvergence posloupnosti funkcí $f_{n}$ k funkci $f$ tedy vyžaduje, aby pro každé $\varepsilon$ a pro každé $x\in \mathbb {R}$ existovalo $n_{0}\in \mathbb {N}$ taková, že se $f_{n0},f_{n0+1}$ atd. neliší v bodě $x$ od $f$ o více než $\varepsilon$ . Stejnoměrná konvergence navíc vyžaduje, aby toto $n_{0}$ záviselo jen na $\varepsilon$ , nikoli však na $x$ .

Definice

Předpokládejme, že $(f_{n})$ je posloupnost funkcí, které mají stejný definiční obor i obor hodnot. Oborem hodnot je obvykle množina reálných čísel, ale obecně to může být jakýkoli metrický prostor. Posloupnost $(f_{n})$ konverguje bodově k funkci $f$ , píšeme

\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{bodově}},

právě tehdy, když

\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)

pro každé $x$ z definičního oboru. Funkce $f$ se nazývá bodová limita funkce $f_{n}$ .

Vlastnosti

Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí nemusí být spojitá: spojité funkce

\sin ^{n}x

(vyznačené zeleně) bodově konvergují k funkci vyznačené červeně, které není spojitá v bodě

{\frac {\pi }{2}}

.

Bodová konvergence je slabší než stejnoměrná konvergence, kterou zapisujeme

\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{stejnoměrně}}

což znamená, že

\lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|;x\in A\,\}=0,

kde $A$ je společný definiční obor funkce $f$ a funkcí $f_{n}$ . Jde o silnější podmínku, než je podmínka bodové konvergence: každá stejnoměrně konvergentní posloupnost je bodově konvergentní ke stejné limitní funkci, ale ne všechny bodově konvergentní posloupnosti jsou stejnoměrně konvergentní. Pokud například $f_{n}:\langle 0,1)\rightarrow \langle 0,1)$ je posloupnost funkcí definovaná vztahem $f_{n}(x)=x^{n}$ , pak $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0$ bodově na intervalu $\langle 0,1)$ , ale ne stejnoměrně.

Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí může být nespojitá funkce, ale pouze pokud konvergence není stejnoměrná. Například

f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\cos(\pi x)^{2n}

nabývá hodnoty 1, pokud $x$ je celé číslo a 0 jinak; funkce je tedy nespojitá pro každé $x$ , které je celým číslem.

Pro koncept bodové konvergence stačí, aby hodnoty funkcí f_n byly prvky libovolného topologického prostoru. Pro stejnoměrnou konvergenci je nutná silnější podmínka, obor hodnot funkcí musí být metrický prostor nebo obecněji uniformní prostor.

V metrických prostorech

Definice bodové ani stejnoměrné konvergence nijak nevyužívá toho, že definiční obory funkcí jsou právě reálná čísla. Proto je možné tyto pojmy zobecnit z funkcí z $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ na funkce $X\to \mathbb {R}$ pro jakoukoli neprázdnou množinu $X$ , aniž bychom na $X$ vyžadovali nějakou dodatečnou strukturu, např. že to má být metrický prostor.

Skutečnost, že $f_{n}(x)$ a $f(x)$ jsou reálná čísla, není v podmínce $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ (ani žádné další části definice) využita nad rámec toho, že lze stanovit jejich vzdálenost. Proto místo reálných čísel můžeme použít jakoukoli množinu $Y$ s kteroukoli metrikou $d$ , tzn. funkcí, která alespoň v základních rysech připomíná pojem „vzdálenosti“. Díky tomu lze pro libovolnou neprázdnou množinu $X$ a libovolný metrický prostor $(Y,d)$ lze definovat, že posloupnost funkcí $\{f_{n}\}$ z $X$ do $Y$ konverguje k funkci $f\to Y$

Bodově když pro každé $\varepsilon >0$ a každé $x\in X$ existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že pro každé $n\geq n_{0}$ platí $d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$ .
Stejnoměrně když pro každé $\varepsilon >0$ existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že pro každé $x\in X$ a každé $n\geq n_{0}$ platí $d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$ .

Tyto dvě definice se liší jen prohozením pořadí kvantifikátorů „pro každé $x\in X$ “ a „existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ “, stejně jako u definice na reálných číslech, která je speciálním případem této obecnější definice, tzn. vznikne, když do této definice dosadíme $\mathbb {R}$ za $X$ i $Y$ .

V topologických prostorech

V každém metrickém prostoru na libovolné nosné množině $Y$ definuje metrika, které množiny jsou otevřené; topologický prostor pak nese informaci o otevřených množinách na $Y$ , nikoli však o vzdálenosti. Vznikne tedy z metrického prostoru „zapamatováním si“, které množiny jsou otevřené, a „zapomenutím“ metriky.

Ne všechny topologické prostory jsou metrizovatelné (tj. vzniklé z metrického prostoru). Jiné lze naopak získat z několika různých metrik: obvyklou topologii na reálných číslech lze obdržet

jak z obvyklé metriky $d(x,y)=|x-y|$
tak z $d(x,y)=|\operatorname {arctan} (x)-\operatorname {arctan} (y)|$ . Ta využívá funkci arkus tangens a je, na rozdíl od té první, rozšiřitelná na rozšířená reálná čísla.

Bez konkrétní metriky na $Y$ nelze hovořit o stejnoměrné konvergenci, topologie (tj. struktura topologického prostoru) k tomu neposkytuje dostatečnou informaci. Říkáme, že posloupnost funkcí ${f_{n}}$ z množiny $X$ do topologického prostoru $Y$ k funkci $f\to Y$ konverguje bodově, pokud pro každé $x\in X$ posloupnost ${f_{n}(x)}$ bodů z $Y$ konverguje k $f(x)$ .

V uniformních prostorech

K zavedení pojmu stejnoměrné konvergence funkcí z $X$ do $Y$ nestačí, aby $Y$ byl pouze topologický prostor, topologická struktura (neboli znalost, které množiny jsou otevřené, k tomu neposkytuje dostatek informací. Na druhou stranu není nutné mít tak detailní strukturu, jakou poskytuje metrický prostor. Proto vznikl pojem uniformní prostor, který obsahuje právě informaci k tomu potřebnou. Proto metrika definuje uniformitu a každá uniformita udává topologii.

Uniformní struktura („uniformita“) souvisí se stejnojmennou konvergencí právě tak, jako topologická struktura („topologie“) na dané množině souvisí s konvergencí.

Topologie vzniklá z metriky obsahuje právě ty množiny $A\subseteq Y$ , které s každým svým prvkem obsahují i nějaké jeho $\varepsilon$ -okolí, tj. pro každé $a\in A$ existuje $\varepsilon >0$ takové, že $A$ obsahuje všechna $b\in Y$ splňující $d(a,b)<\varepsilon$ . Tato definice zachycuje podstatnou část z definice konvergence posloupnosti v metrickém prostoru: posloupnost $\{a_{n}\}$ konverguje k $a\in Y$ , právě když v každém $\varepsilon$ -okolí bodu $a$ leží $\{a_{n}\}$ pro skoro všechny (tj. všechny až na nejvýše konečně mnoho) indexy $n\in \mathbb {N}$ .
Uniformita neobsahuje podmnožiny $Y$ , nýbrž podmnožiny kartézského součinu $Y\times Y$ . Uniformita vzniklá z metriky $d$ obsahuje právě ty podmnožiny $A\subseteq Y\times Y$ , pro něž existuje $\varepsilon >0$ takové, že $A$ obsahuje všechny dvojice $(y_{1},y_{2})$ takové, že $d(y_{1},y_{2})<\varepsilon$ .

Pro neprázdnou množinu $X$ a množinu funkcí ${f_{n}}$ z $X$ do $Y$ se říká, že stejnoměrně konverguje k funkci $f:X\to Y$ , pokud ke každému $V\in U$ existuje $N\in \mathbb {N}$ , takové že pro všechna $n\geq N$ a $x\in X$ platí $(f_{n}(x),f(x))\in V$ .

Vztah uniformity k dalším strukturám

Každý uniformní prostor $(Y,U)$ je zároveň topologický prostor, protože uniformita $U$ generuje topologii $T$ následujícím způsobem: okolím bodu $y\in Y$ jsou množiny $\{z\in Y\mid (y,z)\in V{\text{ pro nějaké }}V\in U\}$ . Znalost okolí dále definuje otevřené množiny (tj. takové, které s každým svým prvkem obsahují i nějaké jeho okolí), čímž je udána topologie.
Každý metrický prostor $(Y,d)$ lze chápat jako uniformní prostor: uniformita obsahuje množiny tvaru ${(y,z)\mid d(y,z)<\epsilon }$ , kde $\varepsilon >0$ a všechny jejich nadmnožiny.
Podobně každý normovaný prostor je metrický a každý unitární prostor (prostor s unitární normou) je normovaný, a tedy také uniformní.

Uniformní prostory jsou obecnější než metrické prostory a umožňují zkoumat pojmy, jako je stejnoměrná spojitost nebo stejnoměrná konvergence, bez závislosti na konkrétní metrice.

Definice uniformity

Uniformní prostor $\mathbb {U} =(Y,U)$ je matematická struktura tvořená nosnou množinou $Y$ a uniformní strukturou („uniformitou“) $U\subseteq {\mathcal {P}}(Y\times Y)$ , což je systém podmnožin kartézského součinu $Y\times Y$ splňující následující axiomy:

Reflexivita: Každý prvek $y\in Y$ je v relaci se sebou samým, tj. $\Delta _{Y}=\{(y,y)\mid y\in Y\}\in U$ (diagonála patří do uniformity).
Symetrie: Pro každou $V\in U$ platí $V^{-1}=\{(y,z)\mid (z,y)\in V\}\in U$ .
Tranzitivita: Ke každé $V\in U$ existuje $W\in U$ , takové že $W\circ W\subseteq V$ , kde $W\circ W=\{(y,z)\mid \exists u\in Y:(y,u)\in W{\text{ a }}(u,z)\in W\}$ .
Filtrační vlastnost: Pokud $V,W\in U$ , pak existuje $Z\in U$ , takové že $Z\subseteq V\cap W$ .

Stejnoměrná spojitost v uniformních prostorech

Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte.

Konvergence skoro všude

V teorii míry mluvíme o konvergenci skoro všude posloupnosti měřitelných funkcí definovaných na měřitelném prostoru. To znamená bodovou konvergenci skoro všude, tj. na nějaké podmnožině definičního oboru, jejíž doplněk má míru nula. Jegorovova věta říká, že bodová konvergence skoro všude na množině konečné míry implikuje stejnoměrnou konvergenci na nepatrně menší množině.

Bodová konvergence téměř všude na prostoru funkcí na prostoru s mírou nedefinuje strukturu topologie na prostoru měřitelných funkcí na prostoru s mírou (i když to je konvergenční struktura). Důvodem je, že pokud v topologickém prostoru má každá podposloupnost posloupnosti vlastní podposloupnost se stejnou limitou, musí i posloupnost sama konvergovat k této limitě.

Uvažujeme však posloupnost funkcí takzvaných „cválajících obdélníků“. Nechť N = Floor(log₂ n) a k = n mod 2^N. Nechť

f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{jinak}}.\end{cases}}.

Pak jakákoli podposloupnost posloupnosti $(f n) n$ má pod-podposloupnost, která sama konverguje skoro všude k nule, například podposloupnost funkcí, které nemají nulovou hodnotu v bodě $x =0$ . Ale původní posloupnost nekonverguje bodově k nule v žádném bodě. Proto na rozdíl od konvergence v míře a konvergence L^p není bodová konvergence skoro všude konvergencí žádné topologie na prostoru funkcí.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pointwise convergence na anglické Wikipedii.

↑ RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill, 1976. Dostupné online. ISBN 0-07-054235-X.
↑ MUNKRES, James R. Topology. 2. vyd. [s.l.]: Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-181629-2.

Související články

[1] RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill, 1976. Dostupné online. ISBN 0-07-054235-X.

[2] MUNKRES, James R. Topology. 2. vyd. [s.l.]: Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-181629-2.

[1]

[2]